nsz Git - www/blob - libm/index.html

   1 <html><head><title>libm</title></head><body>
   2 <h2>libm</h2>
   3
   4 <p>This page is about libm for the
   5 <a href="http://www.musl-libc.org/">musl</a> libc.
   6
   7 <ul>
   8 <li><a href="#sources">Sources</a>
   9 <li><a href="#rules">General rules</a>
  10 <li><a href="#representation">Representation</a>
  11 <li><a href="#ugly">Ugly</a>
  12 <li><a href="#implementations">libm implementations</a>
  13 <li><a href="#tests">libm tests</a>
  14 </ul>
  15
  16 <h3><a name="sources" href="#sources">Sources</a></h3>
  17 <p>Writing math code from scratch is a huge work so already existing code is
  18 used. Several math functions are taken from the
  19 <a href="http://freebsd.org/">freebsd</a> libm and a few from the
  20 <a href="http://openbsd.org/">openbsd</a> libm implementations.
  21 Both of them are based on <a href="http://www.netlib.org/fdlibm/">fdlibm</a>.
  22 The freebsd libm seems to be the most well maintained and most correct version
  23 of fdlibm.
  24 <p>sources:
  25 <ul>
  26 <li>freebsd /lib/msun (<a href="http://svnweb.FreeBSD.org/base/head/lib/msun/">browse</a>)
  27 <pre>
  28 svn checkout svn://svn.freebsd.org/base/head/lib/msun
  29 </pre>
  30 <li>openbsd /src/lib/libm (<a href="http://www.openbsd.org/cgi-bin/cvsweb/src/lib/libm/">browse</a>)
  31 <pre>
  32 cvs -d <a href="http://openbsd.org/anoncvs.html#CVSROOT">$CVSROOT</a> get src/lib/libm
  33 </pre>
  34 </ul>
  35
  36 <h3><a name="rules" href="#rules">General rules</a></h3>
  37 <ul>
  38 <li>Assumption about floating-point representation and arithmetics
  39 (see <a href="http://port70.net/~nsz/c/c99/n1256.html#F.2">c99 annex F.2</a>):
  40 <ul>
  41 <li>float is ieee binary32
  42 <li>double is ieee binary64
  43 <li>long double is either ieee binary64 or little-endian 80bit extended precision (x87 fpu)
  44 </ul>
  45 (other long double representations may be supported in the future, until then
  46 long double math functions will be missing on non-supported platforms)
  47 <li>On soft-float architectures fenv should not be expected to work according to
  48 the c and ieee standards (ie. rounding modes and exceptions are not supported,
  49 the fenv functions are dummy ones)
  50 <li>Floating-point exception flags should be properly set in math functions
  51 according to c99 annex F, but without using fenv.h
  52 (eg. overflow flag can be raised by 0x1p900*0x1p900, because this works even
  53 without fenv support)
  54 <li>Most functions need to be precise only in nearest rounding mode.
  55 <li>Returned floating-point values should be correctly rounded in most cases,
  56 but the last bit may be wrong:
  57 <pre>
  58     |error| &lt; 1.5 ulp
  59 </pre>
  60 should hold.
  61 (error is the difference between the exact result and the calculated
  62 floating-point value)
  63 (in theory correct rounding can be achieved but with big implementation cost,
  64 see <a href="http://lipforge.ens-lyon.fr/www/crlibm/">crlibm</a>)
  65 <li>At least the following functions must be correctly rounded:
  66 ceil, copysign, fabs, fdim, floor, fma, fmax, fmin, frexp, ldexp,
  67 modf, nearbyint, nextafter, nexttoward, rint, round, scalbln, scalbn,
  68 sqrt, trunc.
  69 <li>Mathematical properties of functions should be as expected
  70 (monotonicity, range, symmetries).
  71 <li>If the FPU precision is altered then nothing is guaranteed to work.
  72 (ie. when long double does not have full 80bit precision on i386 then things may break)
  73 <li>Signaling NaN is not supported
  74 <li>Quiet NaN is supported but all NaNs are treated equally without special
  75 attention to the internal representation of a NaN
  76 (eg. the sign of NaN may not be preserved).
  77 <li>Most gcc bug workarounds should be removed from the code
  78 (STRICT_ASSIGN macro is used when excessive precision is harmful and
  79 FORCE_EVAL when expressions must be evaluated for their sideeffect, other
  80 usage of volatile is not justified, hacks around long double constants are
  81 not justified eventhough gcc can miscompile those with non-default FPU setting)
  82 <li>Whenever fenv is accessed the FENV_ACCESS pragma of c99 should be used
  83 (eventhough gcc does not yet support it), and all usage of optional FE_
  84 macros should be protected by #ifdef
  85 <li>For bit manipulation of floating-point values an union should be used
  86 (eg. union {float f; uint32_t i;})
  87 <li>uint32_t and uint64_t should be used for bit manipulations.
  88 (eg signed int must not be used in bit shifts etc when it might invoke
  89 undefined or implementation defined behaviour).
  90 <li>POSIX namespace rules must be respected.
  91 <li>c99 hexfloat syntax (0x1.0p0) should be used when it makes the
  92 code clearer, but not in public header files
  93 (those should be c++ and ansi c compatible)
  94 <li>The 'f' suffix should be used for single precision values (0.1f) when the
  95 value cannot be exactly represented ((float)0.1 is not ok, that style may lead
  96 to double rounding issues, but eg. 1.0 or 0.5 can be used instead of 1.0f or
  97 0.5f)
  98 <li>Prefer classification macros (eg. isnan) over inplace bit hacks.
  99 <li>For every math function there should be a c implementation.
 100 (a notable exception now is sqrtl, since most fpu has instruction for it
 101 and on soft-float architectures long double == double)
 102 <li>The c implementation of a long double function should use ifdefs with the
 103 LDBL_MANT_DIG etc constants from float.h for architecture specific
 104 implementations.
 105 <li>In the musl source tree math.h functions go to src/math, complex.h functions
 106 to src/complex and fenv.h functions to src/fenv. And files are named after the
 107 functions they implement.
 108 </ul>
 109
 110 <h3><a name="representation" href="#representation">Representation</a></h3>
 111 <p>
 112 Binary representation of floating point numbers matter
 113 because bit hacks are often needed in the math code.
 114 <p>
 115 float and double bit manipulation can be handled in a portable way in c using
 116 union types:
 117 <ul>
 118 <li>union {float f; uint32_t i;};
 119 <li>union {double f; uint64_t i;};
 120 </ul>
 121 (assuming the bits in the object representation of 32bit and 64bit unsigned ints
 122 map to the floating-point representation according to ieee-754, this is not
 123 always the case, eg. old
 124 <a href="http://wiki.debian.org/ArmEabiPort#ARM_floating_points">arm floating-point accelerator</a>
 125 (FPA) used mixed endian double representation, but musl does not support the old
 126 arm ABI)
 127 <p>
 128 long double bit manipulation is harder as there are various representations
 129 and some of them don't map to any unsigned integer type:
 130 <ul>
 131 <li>ld64: long double is the same as double (ieee binary64)
 132 <li>ld80: 80bit extended precision format [<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_precision">wikipedia</a>]
 133 <li>ld128: quadruple precision, ieee binary128 [<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quadruple-precision_floating-point_format">wikipedia</a>]
 134 </ul>
 135 (and other non-standard formats are not supported)
 136 <p>
 137 In case of ld64 the bit manipulation is the same as with double
 138 and all long double math functions can be just wrappers around the
 139 corresponding double ones.
 140 (using symbol aliasing on the linker level is non-conformant
 141 since functions would not have unique address then)
 142 <p>
 143 ld80 is the most common long double on linux (i386 and x86_64 abi),
 144 it means 64bit significand with explicit msb
 145 (inconsistent with other ieee formats), 15bit exp, 1 sign bit.
 146 The m68k (and m88k) architecture uses the same format, but different endianness:
 147 <ul>
 148 <li>union {long double f; struct{uint64_t m; uint16_t se; uint16_t pad;} i;}; // x86
 149 <li>union {long double f; struct{uint16_t se; uint16_t pad; uint64_t m;} i;}; // m68k
 150 </ul>
 151 where m is the significand and se is the sign and exponent.
 152 <p>
 153 ld128 is rare (eg. sparc64 with software emulation), it means
 154 113bit significand with implicit msb, 15bit exp, 1 sign bit:
 155 <ul>
 156 <li>union {long double f; struct{uint16_t se; uint16_t hi; uint32_t mid; uint64_t lo;} i;};
 157 </ul>
 158 <p>
 159 There are other non-conformant long double types: eg. ppc abi (both SVR4 and
 160 the newer eabi) uses 128 bit long doubles, but it's software emulated using
 161 (the newer <a href="http://www.freescale.com/files/32bit/doc/app_note/PPCEABI.pdf">ppc eabi</a> uses ld64).
 162 The ibm s390 supports the ieee 754-2008 compliant binary128 floating-point
 163 format, but previous ibm machines (S/370, S/360) used slightly different
 164 representation.
 165 <p>
 166 This variation shows the difficulty to consistently handle
 167 long double: the solution is to use ifdefs based on float.h and
 168 on the endianness and write different code for different architectures.
 169
 170 <h3><a name="ugly" href="#ugly">Ugly</a></h3>
 171 <p>The ugly parts of libm hacking.
 172 <p>Some notes are from:
 173 <a href="http://www.vinc17.org/research/extended.en.html">http://www.vinc17.org/research/extended.en.html</a>
 174
 175 <ul>
 176 <li>Double rounding:
 177 <p>
 178 If a value rounded twice the result can be different
 179 than rounding just once.
 180 <p>
 181 The C language allows arithmetic to be evaluated in
 182 higher precision than the operands have. If we
 183 use x87 fpu in extended precision mode it will round
 184 the results twice: round to 80bit when calculating
 185 and then round to 64bit when storing it, this can
 186 give different result than a single 64bit rounding.
 187 (on x86-linux the default fpu setting is to round the
 188 results in extended precision, this only affects x87 instructions, not see2 etc)
 189 (freebsd and openbsd use double precision by default)
 190 <p>
 191 So x = a+b may give different results depending on
 192 the x87 fpu precision setting.
 193 (only happens in round to nearest rounding mode,
 194 but that's the most common one)
 195 <p>
 196 (double rounding can happen with float vs double as well)
 197 <p>
 198 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#F.7.3">C99 annex F</a>
 199 prohibits double rounding, but that's non-normative.
 200
 201 <li>Wider exponent range (x87 issue):
 202 <p>
 203 Even if the fpu is set to double precision
 204 (which is not) the x87 registers use wider exponent
 205 range (mant:exp is 53:15 instead of 53:11 bits)
 206 so underflows (subnormals) may not be treated
 207 as expected. Rounding to double only occurs
 208 when a value is stored into memory.
 209 <p>
 210 Actually this beahviour is allowed by the ieee 754
 211 standard, but it can cause problems (see
 212 <a href="http://www.exploringbinary.com/php-hangs-on-numeric-value-2-2250738585072011e-308/">infamous php bug</a>)
 213
 214 <li>Evaluation precision:
 215 <p>
 216 C does not require consistent evaluation
 217 precision: the compiler may store intermediate
 218 results and round them to double while keep
 219 other parts in higher precision.
 220 (And the precision the compiler choses can
 221 be inconsistent: adding a printf to the code
 222 may change the result of a nearby calculation).
 223 So
 224 <pre>
 225 (a+b)==(a+b)
 226 </pre>
 227 may be false when the two sides
 228 are kept in different precision.
 229 (This is not an x87 specific problem, it matters whenever there
 230 is a higher precision fp type than the currently used one.
 231 It goes away if the highest precision (long double) is used
 232 everywhere, but that can have a huge penalty).
 233 <p>
 234 C99 has a way to control this (see
 235 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#5.1.2.3">5.1.2.3 example 4</a>,
 236 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#6.3.1.5">6.3.1.5</a> and
 237 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#6.3.1.8">6.3.1.8</a>):
 238 when a result is stored in a variable or a
 239 type cast is used, then it is guaranteed that
 240 the precision is appropriate to that type.
 241 So in
 242 <pre>
 243 (double)(a+b)==(double)(a+b)
 244 </pre>
 245 both sides are guaranteed to be in double precision
 246 when the comparision is done.
 247 <p>
 248 (This still does not solve the x87 double rounding
 249 issue though: eg if the left side is evaluated with
 250 sse2 and the right side with x87 extended precision setting
 251 and double rounding then the result may still be false)
 252 <p>
 253 Unfortunately gcc does not respect the standard
 254 and even if assingment or cast is used the result
 255 may be kept in higher precision
 256 (infamous <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=323">gcc bug323</a>
 257 also see <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=36578">gcc bug36578</a>).
 258 gcc 4.5 fixed it with '-fexcess-precision=standard'
 259 (it is enabled by '-std=c99', but the default is
 260 '-fexcess-precision=fast')
 261 <p>
 262 The workaround for older gcc is to force the
 263 compiler to store the intermediate results:
 264 by using volatile double temporary variables
 265 or by '-ffloat-store' (which affects all
 266 intermediate results, but is not guaranteed
 267 by the gcc docs to always work).
 268 <p>
 269 (Sometimes the excess precision is good
 270 but it's hard to rely on it as it is optional
 271 <p>
 272 There is a way to check for it though using
 273 FLT_EVAL_METHOD, float_t and double_t.
 274 But it's probably easier to unconditionally
 275 use higher precision variables when that's
 276 what we want and don't depend on the implicit
 277 excess precision).
 278
 279 <li>Compiler optimizations:
 280 <p>
 281 Runtime and compile time semantics may be different
 282 gcc often does unwanted or even invalid compile
 283 time optimizations.
 284 (constant folding where floating point exception
 285 flags should be raised at runtime, or the result
 286 depends on runtime floating point environment,
 287 or constant expressions are just evaluated with
 288 different precision than at runtime).
 289 <p>
 290 C99 actually allows most of these optimizations
 291 but they can be turned off with STDC pragmas (see
 292 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#6.10.6">6.10.6</a>).
 293 Unfortunately <a href="http://gcc.gnu.org/c99status.html">gcc does not support these pragmas</a>.
 294 <p>
 295 FENV_ACCESS ON tells the compiler that the code wants
 296 to access the floating point environment (eg. set different rounding mode)
 297 (see <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=34678">gcc bug34678</a>).
 298 <p>
 299 (see <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=37845">gcc bug37845</a> for FP_CONTRACT pragma
 300 which is relevant when the architecture has fma instruction, x86_64, i386, arm do not have it).
 301 <p>
 302 The workaround is again using named volatile
 303 variables for constants like
 304 <pre>
 305 static const volatile two52 = 0x1p52;
 306 </pre>
 307 and using the '-frounding-math' gcc flag.
 308 <p>
 309 (According the freebsd libm code gcc truncates
 310 long double const literals on i386.
 311 I haven't yet verified if this still the case,
 312 but as a workaround double-double arithmetics is used:
 313 initializing the long double constant from two doubles)
 314
 315 <li>ld80 vs ld128
 316 <p>
 317 The two representations are sufficiently different
 318 that treating them together is awkward.
 319 (Especially the explicit msb bit in ld80 can cause
 320 different behaviour).
 321 <p>
 322 In the freebsd libm code a few architecture specific
 323 macros and a union handle these issues, but the
 324 result is often less clear than treating ld80
 325 and ld128 separately.
 326
 327 <li>Signed zeros
 328 <p>Signed zeros can be tricky. They cannot be checked
 329 using the usual comparision operators (+0.0 == -0.0 is true),
 330 but they give different results in some cases
 331 (1/-0.0 == -inf) and can make similarly looking
 332 expressions different eg.
 333 (x + 0) is not the same as x, the former is +0.0 when x is -0.0
 334 <p>
 335 (To check for -0, the signbit macro can be used
 336 or the copysign function or bit manipulation.)
 337
 338 <li>Error handling
 339 <p>
 340 Arithmetics may set various floating point exception flags as a side effect.
 341 These can be queried and manipulated (fetestexcept, feraiseexcept,..).
 342 <p>
 343 So special care is needed
 344 when a library function wants to avoid changing
 345 the floating point status flags.
 346 eg. if one wants to check for -0 silently then
 347 <pre>
 348 if (x == 0.0 &amp;&amp; 1/x &lt; 0) { /* x is a -0 */ }
 349 </pre>
 350 is not ok: == raises invalid exception when x is nan,
 351 and even if we filter nans out 1/x will raise the
 352 divbyzero flag.
 353 <p>
 354 When a library wants to raise a flag deliberately
 355 but feraiseexcept is not available for some reason,
 356 then simple arithmetics can be be used just for their
 357 exception raising side effect
 358 (eg. 1/0.0 to raise divbyzero), however beaware
 359 of compiler optimizations (dead code elimination,..).
 360 <p>
 361 Unfortunately gcc does not always take fp exceptions into
 362 account: a simple x = 1e300*1e300; may not raise overflow
 363 exception at runtime, but get optimized into x = +inf.
 364 see compiler optimizations above.
 365 <p>
 366 Another x87 gcc bug related to fp exceptions is that
 367 comparision operators (==, &lt;, etc) don't raise invalid
 368 when an operand is nan
 369 (eventhough this is required by ieee + c99 annex F).
 370 (see <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=52451">gcc bug52451</a>).
 371 <p>
 372 The ieee standard defines signaling and quite nan
 373 floating-point numbers as well.
 374 The c99 standard only considers quiet nan, but it allows
 375 signaling nans to be supported as well.
 376 Without signaling nans x * 1 is equivalent to x,
 377 but if signaling nan is supported then the former
 378 raises an invalid exception.
 379 This may complicates things further if one wants to write
 380 portable fp math code.
 381 <p>
 382 A further libm design issue is the math_errhandling macro:
 383 it specifies the way math function errors can be checked
 384 which is either fp exceptions or the errno variable or both.
 385 The fp exception approach can be supported with enough care
 386 but errno is hard to support: certain library functions
 387 are implemented as a single asm instruction (eg sqrt),
 388 the only way to set errno is to query the fp exception flags
 389 and then set the errno variable based on that.
 390 So eventhough errno may be convenient in libm it is
 391 not the right thing to do.
 392
 393 <li>Complex arithmetics
 394 <p>
 395 gcc turns
 396 <pre>
 397 x*I
 398 </pre>
 399 into
 400 <pre>
 401 (x+0*I)*(0+I) = 0*x + x*I
 402 </pre>
 403 So if x=inf then the result is nan+inf*I instead of inf*I
 404 (an fmul instruction is generated for 0*x)
 405 <p>
 406 (There were various complex constant folding issues as well in gcc).
 407 <p>
 408 So a+b*I cannot be used to create complex numbers,
 409 instead some double[2] manipulation should be used to
 410 make sure there is no fmul in the generated code
 411 (freebsd uses a static inline cpack function)
 412 (It's not clear which is better: using union hacks
 413 everywhere in the complex code or creal, cimag, cpack)
 414 <p>
 415 Complex code is hard to make portable across compilers
 416 as there are no good compiler support, it is rarely used
 417 and there are various options available in the standard:
 418 complex support is optional, imaginary type
 419 is optional.
 420 <p>
 421 It's not clear how I (or _Complex_I) should be defined
 422 in complex.h
 423 (literal of the float imaginary unit is compiler specific,
 424 in gcc it can be 1.0fi).
 425
 426 <li>Signed int
 427 <p>
 428 The freebsd libm code has many inconsistencies
 429 (naming conventions, 0x1p0 notation vs decimal notation,..),
 430 one of them is the integer type used for bitmanipulations:
 431 The bits of a double are unpacked into one of
 432 int32_t, uint32_t and u_int32_t
 433 integer types.
 434 <p>
 435 int32_t is used most often which is wrong because of
 436 implementation defined signed int representation.
 437 <p>
 438 In general signed int is not handled carefully
 439 in the libm code: scalbn even depends on signed int overflow.
 440 </ul>
 441
 442 <h3><a name="implementations" href="#implementations">libm implementations</a></h3>
 443 <ul>
 444 <li>
 445 unix v7 libm by Robert Morris (rhm) around 1979<br>
 446 see: "Computer Approximations" by Hart & Cheney, 1968<br>
 447 used in: plan9, go
 448 <li>
 449 cephes by Stephen L. Moshier, 1984-1992<br>
 450 <a href="http://www.netlib.org/cephes/">http://www.netlib.org/cephes/</a><br>
 451 see: "Methods and Programs for Mathematical Functions" by Moshier 1989
 452 <li>
 453 fdlibm by K. C. Ng around 1993, updated in 1995?<br>
 454 (1993: copyright notice: "Developed at SunPro ..")<br>
 455 (1995: copyright notice: "Developed at SunSoft ..")<br>
 456 eg see: "Argument Reduction for Huge Arguments: Good to the Last Bit" by Ng 1992<br>
 457 <a href="http://www.netlib.org/fdlibm">http://www.netlib.org/fdlibm</a><br>
 458 used in: netbsd, openbsd, freebsd, bionic, musl
 459 <li>
 460 libultim by Abraham Ziv around 2001 (lgpl)<br>
 461 (also known as the ibm accurate portable math lib)<br>
 462 see: "Fast evaluation of elementary mathematical functions with correctly rounded last bit" by Ziv 1991<br>
 463 <a href="http://web.archive.org/web/20050207110205/http://oss.software.ibm.com/mathlib/">http://web.archive.org/web/20050207110205/http://oss.software.ibm.com/mathlib/</a><br>
 464 used in: glibc
 465 <li>
 466 libmcr by K. C. Ng, 2004<br>
 467 (sun's correctly rounded libm)
 468 <li>
 469 mathcw by Nelson H. F. Beebe, 2010?<br>
 470 <a href="http://ftp.math.utah.edu/pub/mathcw/">http://ftp.math.utah.edu/pub/mathcw/</a><br>
 471 (no sources available?)
 472 <li>
 473 sleef by Naoki Shibata, 2010<br>
 474 (simd lib for evaluating elementary functions)<br>
 475 <a href="http://shibatch.sourceforge.net/">http://shibatch.sourceforge.net/</a>
 476 <li>
 477 crlibm by ens-lyon, 2004-2010<br>
 478 <a href="http://lipforge.ens-lyon.fr/www/crlibm/">http://lipforge.ens-lyon.fr/www/crlibm/</a><br>
 479 see: <a href="http://lipforge.ens-lyon.fr/frs/?group_id=8&amp;release_id=123">crlibm.pdf</a><br>
 480 see: "Elementary Functions" by Jean-Michel Muller 2005<br>
 481 see: "Handbook of Floating-Point Arithmetic" by (many authors from Lyon) 2009<br>
 482 <li>
 483 various other closed ones: intel libm, hp libm for itanium,..
 484 </ul>
 485
 486 <h3><a name="tests" href="#tests">libm tests</a></h3>
 487 <ul>
 488 <li><a href="http://www.netlib.org/fp/ucbtest.tgz">ucbtest.tgz</a>
 489 <li><a href="http://www.jhauser.us/arithmetic/TestFloat.html">TestFloat</a>
 490 <li><a href="http://cant.ua.ac.be/old/ieeecc754.html">ieeecc754</a>
 491 <li><a href="http://www.loria.fr/~zimmerma/mpcheck/">mpcheck</a>,
 492 <a href="http://gforge.inria.fr/projects/mpcheck/">mpcheck</a>
 493 <li><a href="http://people.inf.ethz.ch/gonnet/FPAccuracy/Analysis.html">FPAccuracy</a>
 494 <li><a href="http://www.math.utah.edu/~beebe/software/ieee/">beebe's ieee tests</a>
 495 <li><a href="http://www.math.utah.edu/pub/elefunt/">elefunt</a>
 496 <li><a href="http://www.vinc17.org/research/testlibm/index.en.html">testlibm</a>
 497 <li><a href="http://www.vinc17.org/research/fptest.en.html">fptest</a>
 498 <li>tests in crlibm
 499 </ul>
 500 <p>
 501 multiprecision libs (useful for tests)
 502 <ul>
 503 <li><a href="http://mpfr.org/">mpfr</a>
 504 <li><a href="http://www.multiprecision.org/index.php?prog=mpc">mpc</a>
 505 <li><a href="http://pari.math.u-bordeaux.fr/">pari</a>
 506 <li><a href="http://www.apfloat.org/apfloat/">apfloat</a>
 507 <li><a href="http://code.google.com/p/fastfunlib/">fastfunlib</a>
 508 <li>scs_lib in crlibm
 509 </ul>
 510
 511 <p>other links
 512 <ul>
 513 <li>ieee standard: http://754r.ucbtest.org/
 514 <li>extended precision issues: http://www.vinc17.org/research/extended.en.html
 515 <li>correctly rounded mult: http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/MultConstant.html
 516 <li>table based sincos: http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/IMPROVEDGAL.html
 517 <li>finding worst cases: http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/WCLR.html
 518 <li>finding worst cases: http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/DECIMALEXP.html
 519 <li>finding worst cases: http://www.loria.fr/equipes/spaces/slz.en.html
 520 <li>finding worst cases: http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/Intro-to-TMD.htm
 521 <li>generating libm functions: http://lipforge.ens-lyon.fr/www/metalibm/
 522 <li>fast conversion to fixedpoint: http://stereopsis.com/sree/fpu2006.html
 523 <li>double-double, quad-double arithmetics: http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/mpdist/
 524 <li>papers by kahan: http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/
 525 <li>fp paper by goldberg: http://download.oracle.com/docs/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html
 526 <li>math functions in general: http://dlmf.nist.gov/
 527 </ul>
 528
 529 <p><small>(<a href="/git/?p=www">page history</a>, <a href="/">home</a>)</small>
 530 </body></html>