nsz Git - www/blob - libm/index.html

   1 <html><head><title>libm</title></head><body>
   2 <h2>libm</h2>
   3
   4 <p>This page is about libm for the
   5 <a href="http://www.musl-libc.org/">musl</a> libc.
   6
   7 <ul>
   8 <li><a href="#sources">Sources</a>
   9 <li><a href="#rules">General rules</a>
  10 <li><a href="#representation">Representation</a>
  11 <li><a href="#ugly">Ugly</a>
  12 <li><a href="#implementations">libm implementations</a>
  13 <li><a href="#tests">libm tests</a>
  14 </ul>
  15
  16 <h3><a name="sources" href="#sources">Sources</a></h3>
  17 <p>Writing math code from scratch is a huge work so already existing code is
  18 used. Several math functions are taken from the
  19 <a href="http://freebsd.org/">freebsd</a> libm and a few from the
  20 <a href="http://openbsd.org/">openbsd</a> libm implementations.
  21 Both of them are based on <a href="http://www.netlib.org/fdlibm/">fdlibm</a>.
  22 The freebsd libm seems to be the most well maintained and most correct version
  23 of fdlibm.
  24 <p>sources:
  25 <ul>
  26 <li>freebsd /lib/msun (<a href="http://svnweb.FreeBSD.org/base/head/lib/msun/">browse</a>)
  27 <pre>
  28 svn checkout svn://svn.freebsd.org/base/head/lib/msun
  29 </pre>
  30 <li>openbsd /src/lib/libm (<a href="http://www.openbsd.org/cgi-bin/cvsweb/src/lib/libm/">browse</a>)
  31 <pre>
  32 cvs -d <a href="http://openbsd.org/anoncvs.html#CVSROOT">$CVSROOT</a> get src/lib/libm
  33 </pre>
  34 </ul>
  35
  36 <h3><a name="rules" href="#rules">General rules</a></h3>
  37 <ul>
  38 <li>Assumption about floating-point representation and arithmetics
  39 (see <a href="http://port70.net/~nsz/c/c99/n1256.html#F.2">c99 annex F.2</a>):
  40 <ul>
  41 <li>float is ieee binary32
  42 <li>double is ieee binary64
  43 <li>long double is either ieee binary64 or little-endian 80bit extended precision (x87 fpu)
  44 </ul>
  45 (other long double representations may be supported in the future, until then
  46 long double math functions will be missing on non-supported platforms)
  47 <li>On soft-float architectures fenv should not be expected to work according to
  48 the c and ieee standards (ie. rounding modes and exceptions are not supported,
  49 the fenv functions are dummy ones)
  50 <li>Floating-point exception flags should be properly set in math functions
  51 according to c99 annex F, but without using fenv.h
  52 (eg. overflow flag can be raised by 0x1p900*0x1p900, because this works even
  53 without fenv support)
  54 <li>Most functions need to be precise only in nearest rounding mode.
  55 <li>Returned floating-point values should be correctly rounded in most cases,
  56 but the last bit may be wrong:
  57 <pre>
  58     |error| &lt; 1.5 ulp
  59 </pre>
  60 should hold.
  61 (error is the difference between the exact result and the calculated
  62 floating-point value)
  63 (in theory correct rounding can be achieved but with big implementation cost,
  64 see <a href="http://lipforge.ens-lyon.fr/www/crlibm/">crlibm</a>)
  65 <li>At least the following functions must be correctly rounded:
  66 ceil, copysign, fabs, fdim, floor, fma, fmax, fmin, frexp, ldexp,
  67 modf, nearbyint, nextafter, nexttoward, rint, round, scalbln, scalbn,
  68 sqrt, trunc.
  69 <li>Mathematical properties of functions should be as expected
  70 (monotonicity, range, symmetries).
  71 <li>If the FPU precision is altered then nothing is guaranteed to work.
  72 (ie. when long double does not have full 80bit precision on i386 then things may break)
  73 <li>Signaling NaN is not supported
  74 <li>Quiet NaN is supported but all NaNs are treated equally without special
  75 attention to the internal representation of a NaN
  76 (eg. the sign of NaN may not be preserved).
  77 <li>Most gcc bug workarounds should be removed from the code
  78 (STRICT_ASSIGN macro is used when excessive precision is harmful and
  79 FORCE_EVAL when expressions must be evaluated for their sideeffect, other
  80 usage of volatile is not justified, hacks around long double constants are
  81 not justified eventhough gcc can miscompile those with non-default FPU setting)
  82 <li>Whenever fenv is accessed the FENV_ACCESS pragma of c99 should be used
  83 (eventhough gcc does not yet support it), and all usage of optional FE_
  84 macros should be protected by #ifdef
  85 <li>For bit manipulation of floating-point values an union should be used
  86 (eg. union {float f; uint32_t i;})
  87 <li>uint32_t and uint64_t should be used for bit manipulations.
  88 (eg signed int must not be used in bit shifts etc when it might invoke
  89 undefined or implementation defined behaviour).
  90 <li>POSIX namespace rules must be respected.
  91 <li>c99 hexfloat syntax (0x1.0p0) should be used when it makes the
  92 code clearer, but not in public header files
  93 (those should be c++ and ansi c compatible)
  94 <li>The 'f' suffix should be used for single precision values (0.1f) when the
  95 value cannot be exactly represented ((float)0.1 is not ok, that style may lead
  96 to double rounding issues, but eg. 1.0 or 0.5 can be used instead of 1.0f or
  97 0.5f)
  98 <li>Prefer classification macros (eg. isnan) over inplace bit hacks.
  99 <li>For every math function there should be a c implementation.
 100 (a notable exception now is sqrtl, since most fpu has instruction for it
 101 and on soft-float architectures long double == double)
 102 <li>The c implementation of a long double function should use ifdefs with the
 103 LDBL_MANT_DIG etc constants from float.h for architecture specific
 104 implementations.
 105 <li>In the musl source tree math.h functions go to src/math, complex.h functions
 106 to src/complex and fenv.h functions to src/fenv. And files are named after the
 107 functions they implement.
 108 </ul>
 109
 110 <h3><a name="representation" href="#representation">Representation</a></h3>
 111 <p>
 112 Binary representation of floating point numbers matter
 113 because bit hacks are often needed in the math code.
 114 <p>
 115 float and double bit manipulation can be handled in a portable way in c using
 116 union types:
 117 <ul>
 118 <li>union {float f; uint32_t i;};
 119 <li>union {double f; uint64_t i;};
 120 </ul>
 121 (assuming the bits in the object representation of 32bit and 64bit unsigned ints
 122 map to the floating-point representation according to ieee-754, this is not
 123 always the case, eg. old
 124 <a href="http://wiki.debian.org/ArmEabiPort#ARM_floating_points">arm floating-point accelerator</a>
 125 (FPA) used mixed endian double representation, but musl does not support the old
 126 arm ABI)
 127 <p>
 128 long double bit manipulation is harder as there are various representations
 129 and some of them don't map to any unsigned integer type:
 130 <ul>
 131 <li>ld64: long double is the same as double (ieee binary64)
 132 <li>ld80: 80bit extended precision format [<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_precision">wikipedia</a>]
 133 <li>ld128: quadruple precision, ieee binary128 [<a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quadruple-precision_floating-point_format">wikipedia</a>]
 134 </ul>
 135 (and other non-standard formats are not supported)
 136 <p>
 137 In case of ld64 the bit manipulation is the same as with double
 138 and all long double math functions can be just wrappers around the
 139 corresponding double ones.
 140 (using symbol aliasing on the linker level is non-conformant
 141 since functions would not have unique address then)
 142 <p>
 143 ld80 is the most common long double on linux (i386 and x86_64 abi),
 144 it means 64bit significand with explicit msb
 145 (inconsistent with other ieee formats), 15bit exp, 1 sign bit.
 146 The m68k (and m88k) architecture uses the same format, but different endianness:
 147 <ul>
 148 <li>union {long double f; struct{uint64_t m; uint16_t se; uint16_t pad;} i;}; // x86
 149 <li>union {long double f; struct{uint16_t se; uint16_t pad; uint64_t m;} i;}; // m68k
 150 </ul>
 151 where m is the significand and se is the sign and exponent.
 152 <p>
 153 ld128 is rare (eg. sparc64 with software emulation), it means
 154 113bit significand with implicit msb, 15bit exp, 1 sign bit:
 155 <ul>
 156 <li>union {long double f; struct{uint16_t se; uint16_t hi; uint32_t mid; uint64_t lo;} i;};
 157 </ul>
 158 <p>
 159 There are other non-conformant long double types: eg. the old SVR4 abi for ppc
 160 uses 128 bit long doubles, but it's software emulated and traditionally
 161 implemented using
 162 <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Quadruple_precision#Double-double_arithmetic">two doubles</a>
 163 (also called ibm long double as this is what ibm aix used on ppc).
 164 The ibm s390 supports the ieee 754-2008 compliant binary128 floating-point
 165 format, but previous ibm machines (S/370, S/360) used slightly different
 166 representation.
 167 <p>
 168 This variation shows the difficulty to consistently handle
 169 long double: the solution is to use ifdefs based on float.h and
 170 on the endianness and write different code for different architectures.
 171
 172 <h3><a name="ugly" href="#ugly">Ugly</a></h3>
 173 <p>The ugly parts of libm hacking.
 174 <p>Some notes are from:
 175 <a href="http://www.vinc17.org/research/extended.en.html">http://www.vinc17.org/research/extended.en.html</a>
 176
 177 <ul>
 178 <li>Double rounding:
 179 <p>
 180 If a value rounded twice the result can be different
 181 than rounding just once.
 182 <p>
 183 The C language allows arithmetic to be evaluated in
 184 higher precision than the operands have. If we
 185 use x87 fpu in extended precision mode it will round
 186 the results twice: round to 80bit when calculating
 187 and then round to 64bit when storing it, this can
 188 give different result than a single 64bit rounding.
 189 (on x86-linux the default fpu setting is to round the
 190 results in extended precision, this only affects x87 instructions, not see2 etc)
 191 (freebsd and openbsd use double precision by default)
 192 <p>
 193 So x = a+b may give different results depending on
 194 the x87 fpu precision setting.
 195 (only happens in round to nearest rounding mode,
 196 but that's the most common one)
 197 <p>
 198 (double rounding can happen with float vs double as well)
 199 <p>
 200 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#F.7.3">C99 annex F</a>
 201 prohibits double rounding, but that's non-normative.
 202
 203 <li>Wider exponent range (x87 issue):
 204 <p>
 205 Even if the fpu is set to double precision
 206 (which is not) the x87 registers use wider exponent
 207 range (mant:exp is 53:15 instead of 53:11 bits)
 208 so underflows (subnormals) may not be treated
 209 as expected. Rounding to double only occurs
 210 when a value is stored into memory.
 211 <p>
 212 Actually this beahviour is allowed by the ieee 754
 213 standard, but it can cause problems (see
 214 <a href="http://www.exploringbinary.com/php-hangs-on-numeric-value-2-2250738585072011e-308/">infamous php bug</a>)
 215
 216 <li>Evaluation precision:
 217 <p>
 218 C does not require consistent evaluation
 219 precision: the compiler may store intermediate
 220 results and round them to double while keep
 221 other parts in higher precision.
 222 (And the precision the compiler choses can
 223 be inconsistent: adding a printf to the code
 224 may change the result of a nearby calculation).
 225 So
 226 <pre>
 227 (a+b)==(a+b)
 228 </pre>
 229 may be false when the two sides
 230 are kept in different precision.
 231 (This is not an x87 specific problem, it matters whenever there
 232 is a higher precision fp type than the currently used one.
 233 It goes away if the highest precision (long double) is used
 234 everywhere, but that can have a huge penalty).
 235 <p>
 236 C99 has a way to control this (see
 237 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#5.1.2.3">5.1.2.3 example 4</a>,
 238 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#6.3.1.5">6.3.1.5</a> and
 239 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#6.3.1.8">6.3.1.8</a>):
 240 when a result is stored in a variable or a
 241 type cast is used, then it is guaranteed that
 242 the precision is appropriate to that type.
 243 So in
 244 <pre>
 245 (double)(a+b)==(double)(a+b)
 246 </pre>
 247 both sides are guaranteed to be in double precision
 248 when the comparision is done.
 249 <p>
 250 (This still does not solve the x87 double rounding
 251 issue though: eg if the left side is evaluated with
 252 sse2 and the right side with x87 extended precision setting
 253 and double rounding then the result may still be false)
 254 <p>
 255 Unfortunately gcc does not respect the standard
 256 and even if assingment or cast is used the result
 257 may be kept in higher precision
 258 (infamous <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=323">gcc bug323</a>
 259 also see <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=36578">gcc bug36578</a>).
 260 gcc 4.5 fixed it with '-fexcess-precision=standard'
 261 (it is enabled by '-std=c99', but the default is
 262 '-fexcess-precision=fast')
 263 <p>
 264 The workaround for older gcc is to force the
 265 compiler to store the intermediate results:
 266 by using volatile double temporary variables
 267 or by '-ffloat-store' (which affects all
 268 intermediate results, but is not guaranteed
 269 by the gcc docs to always work).
 270 <p>
 271 (Sometimes the excess precision is good
 272 but it's hard to rely on it as it is optional
 273 <p>
 274 There is a way to check for it though using
 275 FLT_EVAL_METHOD, float_t and double_t.
 276 But it's probably easier to unconditionally
 277 use higher precision variables when that's
 278 what we want and don't depend on the implicit
 279 excess precision).
 280
 281 <li>Compiler optimizations:
 282 <p>
 283 Runtime and compile time semantics may be different
 284 gcc often does unwanted or even invalid compile
 285 time optimizations.
 286 (constant folding where floating point exception
 287 flags should be raised at runtime, or the result
 288 depends on runtime floating point environment,
 289 or constant expressions are just evaluated with
 290 different precision than at runtime).
 291 <p>
 292 C99 actually allows most of these optimizations
 293 but they can be turned off with STDC pragmas (see
 294 <a href="http://repo.or.cz/w/c-standard.git/blob_plain/HEAD:/n1256.html#6.10.6">6.10.6</a>).
 295 Unfortunately <a href="http://gcc.gnu.org/c99status.html">gcc does not support these pragmas</a>.
 296 <p>
 297 FENV_ACCESS ON tells the compiler that the code wants
 298 to access the floating point environment (eg. set different rounding mode)
 299 (see <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=34678">gcc bug34678</a>).
 300 <p>
 301 (see <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=37845">gcc bug37845</a> for FP_CONTRACT pragma
 302 which is relevant when the architecture has fma instruction, x86_64, i386, arm do not have it).
 303 <p>
 304 The workaround is again using named volatile
 305 variables for constants like
 306 <pre>
 307 static const volatile two52 = 0x1p52;
 308 </pre>
 309 and using the '-frounding-math' gcc flag.
 310 <p>
 311 (According the freebsd libm code gcc truncates
 312 long double const literals on i386.
 313 I haven't yet verified if this still the case,
 314 but as a workaround double-double arithmetics is used:
 315 initializing the long double constant from two doubles)
 316
 317 <li>ld80 vs ld128
 318 <p>
 319 The two representations are sufficiently different
 320 that treating them together is awkward.
 321 (Especially the explicit msb bit in ld80 can cause
 322 different behaviour).
 323 <p>
 324 In the freebsd libm code a few architecture specific
 325 macros and a union handle these issues, but the
 326 result is often less clear than treating ld80
 327 and ld128 separately.
 328
 329 <li>Signed zeros
 330 <p>Signed zeros can be tricky. They cannot be checked
 331 using the usual comparision operators (+0.0 == -0.0 is true),
 332 but they give different results in some cases
 333 (1/-0.0 == -inf) and can make similarly looking
 334 expressions different eg.
 335 (x + 0) is not the same as x, the former is +0.0 when x is -0.0
 336 <p>
 337 (To check for -0, the signbit macro can be used
 338 or the copysign function or bit manipulation.)
 339
 340 <li>Error handling
 341 <p>
 342 Arithmetics may set various floating point exception flags as a side effect.
 343 These can be queried and manipulated (fetestexcept, feraiseexcept,..).
 344 <p>
 345 So special care is needed
 346 when a library function wants to avoid changing
 347 the floating point status flags.
 348 eg. if one wants to check for -0 silently then
 349 <pre>
 350 if (x == 0.0 &amp;&amp; 1/x &lt; 0) { /* x is a -0 */ }
 351 </pre>
 352 is not ok: == raises invalid exception when x is nan,
 353 and even if we filter nans out 1/x will raise the
 354 divbyzero flag.
 355 <p>
 356 When a library wants to raise a flag deliberately
 357 but feraiseexcept is not available for some reason,
 358 then simple arithmetics can be be used just for their
 359 exception raising side effect
 360 (eg. 1/0.0 to raise divbyzero), however beaware
 361 of compiler optimizations (dead code elimination,..).
 362 <p>
 363 Unfortunately gcc does not always take fp exceptions into
 364 account: a simple x = 1e300*1e300; may not raise overflow
 365 exception at runtime, but get optimized into x = +inf.
 366 see compiler optimizations above.
 367 <p>
 368 Another x87 gcc bug related to fp exceptions is that
 369 comparision operators (==, &lt;, etc) don't raise invalid
 370 when an operand is nan
 371 (eventhough this is required by ieee + c99 annex F).
 372 (see <a href="http://gcc.gnu.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=52451">gcc bug52451</a>).
 373 <p>
 374 The ieee standard defines signaling and quite nan
 375 floating-point numbers as well.
 376 The c99 standard only considers quiet nan, but it allows
 377 signaling nans to be supported as well.
 378 Without signaling nans x * 1 is equivalent to x,
 379 but if signaling nan is supported then the former
 380 raises an invalid exception.
 381 This may complicates things further if one wants to write
 382 portable fp math code.
 383 <p>
 384 A further libm design issue is the math_errhandling macro:
 385 it specifies the way math function errors can be checked
 386 which is either fp exceptions or the errno variable or both.
 387 The fp exception approach can be supported with enough care
 388 but errno is hard to support: certain library functions
 389 are implemented as a single asm instruction (eg sqrt),
 390 the only way to set errno is to query the fp exception flags
 391 and then set the errno variable based on that.
 392 So eventhough errno may be convenient in libm it is
 393 not the right thing to do.
 394
 395 <li>Complex arithmetics
 396 <p>
 397 gcc turns
 398 <pre>
 399 x*I
 400 </pre>
 401 into
 402 <pre>
 403 (x+0*I)*(0+I) = 0*x + x*I
 404 </pre>
 405 So if x=inf then the result is nan+inf*I instead of inf*I
 406 (an fmul instruction is generated for 0*x)
 407 <p>
 408 (There were various complex constant folding issues as well in gcc).
 409 <p>
 410 So a+b*I cannot be used to create complex numbers,
 411 instead some double[2] manipulation should be used to
 412 make sure there is no fmul in the generated code
 413 (freebsd uses a static inline cpack function)
 414 (It's not clear which is better: using union hacks
 415 everywhere in the complex code or creal, cimag, cpack)
 416 <p>
 417 Complex code is hard to make portable across compilers
 418 as there are no good compiler support, it is rarely used
 419 and there are various options available in the standard:
 420 complex support is optional, imaginary type
 421 is optional.
 422 <p>
 423 It's not clear how I (or _Complex_I) should be defined
 424 in complex.h
 425 (literal of the float imaginary unit is compiler specific,
 426 in gcc it can be 1.0fi).
 427
 428 <li>Signed int
 429 <p>
 430 The freebsd libm code has many inconsistencies
 431 (naming conventions, 0x1p0 notation vs decimal notation,..),
 432 one of them is the integer type used for bitmanipulations:
 433 The bits of a double are unpacked into one of
 434 int32_t, uint32_t and u_int32_t
 435 integer types.
 436 <p>
 437 int32_t is used most often which is wrong because of
 438 implementation defined signed int representation.
 439 <p>
 440 In general signed int is not handled carefully
 441 in the libm code: scalbn even depends on signed int overflow.
 442 </ul>
 443
 444 <h3><a name="implementations" href="#implementations">libm implementations</a></h3>
 445 <ul>
 446 <li>
 447 unix v7 libm by Robert Morris (rhm) around 1979<br>
 448 see: "Computer Approximations" by Hart & Cheney, 1968<br>
 449 used in: plan9, go
 450 <li>
 451 cephes by Stephen L. Moshier, 1984-1992<br>
 452 <a href="http://www.netlib.org/cephes/">http://www.netlib.org/cephes/</a><br>
 453 see: "Methods and Programs for Mathematical Functions" by Moshier 1989
 454 <li>
 455 fdlibm by K. C. Ng around 1993, updated in 1995?<br>
 456 (1993: copyright notice: "Developed at SunPro ..")<br>
 457 (1995: copyright notice: "Developed at SunSoft ..")<br>
 458 eg see: "Argument Reduction for Huge Arguments: Good to the Last Bit" by Ng 1992<br>
 459 <a href="http://www.netlib.org/fdlibm">http://www.netlib.org/fdlibm</a><br>
 460 used in: netbsd, openbsd, freebsd, bionic, musl
 461 <li>
 462 libultim by Abraham Ziv around 2001 (lgpl)<br>
 463 (also known as the ibm accurate portable math lib)<br>
 464 see: "Fast evaluation of elementary mathematical functions with correctly rounded last bit" by Ziv 1991<br>
 465 <a href="http://web.archive.org/web/20050207110205/http://oss.software.ibm.com/mathlib/">http://web.archive.org/web/20050207110205/http://oss.software.ibm.com/mathlib/</a><br>
 466 used in: glibc
 467 <li>
 468 libmcr by K. C. Ng, 2004<br>
 469 (sun's correctly rounded libm)
 470 <li>
 471 mathcw by Nelson H. F. Beebe, 2010?<br>
 472 <a href="http://ftp.math.utah.edu/pub/mathcw/">http://ftp.math.utah.edu/pub/mathcw/</a><br>
 473 (no sources available?)
 474 <li>
 475 sleef by Naoki Shibata, 2010<br>
 476 (simd lib for evaluating elementary functions)<br>
 477 <a href="http://shibatch.sourceforge.net/">http://shibatch.sourceforge.net/</a>
 478 <li>
 479 crlibm by ens-lyon, 2004-2010<br>
 480 <a href="http://lipforge.ens-lyon.fr/www/crlibm/">http://lipforge.ens-lyon.fr/www/crlibm/</a><br>
 481 see: <a href="http://lipforge.ens-lyon.fr/frs/?group_id=8&amp;release_id=123">crlibm.pdf</a><br>
 482 see: "Elementary Functions" by Jean-Michel Muller 2005<br>
 483 see: "Handbook of Floating-Point Arithmetic" by (many authors from Lyon) 2009<br>
 484 <li>
 485 various other closed ones: intel libm, hp libm for itanium,..
 486 </ul>
 487
 488 <h3><a name="tests" href="#tests">libm tests</a></h3>
 489 <ul>
 490 <li><a href="http://www.netlib.org/fp/ucbtest.tgz">ucbtest.tgz</a>
 491 <li><a href="http://www.jhauser.us/arithmetic/TestFloat.html">TestFloat</a>
 492 <li><a href="http://cant.ua.ac.be/old/ieeecc754.html">ieeecc754</a>
 493 <li><a href="http://www.loria.fr/~zimmerma/mpcheck/">mpcheck</a>,
 494 <a href="http://gforge.inria.fr/projects/mpcheck/">mpcheck</a>
 495 <li><a href="http://people.inf.ethz.ch/gonnet/FPAccuracy/Analysis.html">FPAccuracy</a>
 496 <li><a href="http://www.math.utah.edu/~beebe/software/ieee/">beebe's ieee tests</a>
 497 <li><a href="http://www.math.utah.edu/pub/elefunt/">elefunt</a>
 498 <li><a href="http://www.vinc17.org/research/testlibm/index.en.html">testlibm</a>
 499 <li><a href="http://www.vinc17.org/research/fptest.en.html">fptest</a>
 500 <li>tests in crlibm
 501 </ul>
 502 <p>
 503 multiprecision libs (useful for tests)
 504 <ul>
 505 <li><a href="http://mpfr.org/">mpfr</a>
 506 <li><a href="http://www.multiprecision.org/index.php?prog=mpc">mpc</a>
 507 <li><a href="http://pari.math.u-bordeaux.fr/">pari</a>
 508 <li><a href="http://www.apfloat.org/apfloat/">apfloat</a>
 509 <li><a href="http://code.google.com/p/fastfunlib/">fastfunlib</a>
 510 <li>scs_lib in crlibm
 511 </ul>
 512
 513 <p>other links
 514 <ul>
 515 <li>ieee standard: http://754r.ucbtest.org/
 516 <li>extended precision issues: http://www.vinc17.org/research/extended.en.html
 517 <li>correctly rounded mult: http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/MultConstant.html
 518 <li>table based sincos: http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/IMPROVEDGAL.html
 519 <li>finding worst cases: http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/WCLR.html
 520 <li>finding worst cases: http://perso.ens-lyon.fr/damien.stehle/DECIMALEXP.html
 521 <li>finding worst cases: http://www.loria.fr/equipes/spaces/slz.en.html
 522 <li>finding worst cases: http://perso.ens-lyon.fr/jean-michel.muller/Intro-to-TMD.htm
 523 <li>generating libm functions: http://lipforge.ens-lyon.fr/www/metalibm/
 524 <li>fast conversion to fixedpoint: http://stereopsis.com/sree/fpu2006.html
 525 <li>double-double, quad-double arithmetics: http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/mpdist/
 526 <li>papers by kahan: http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/
 527 <li>fp paper by goldberg: http://download.oracle.com/docs/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html
 528 <li>math functions in general: http://dlmf.nist.gov/
 529 </ul>
 530
 531 <p><small>(<a href="/git/?p=www">page history</a>, <a href="/">home</a>)</small>
 532 </body></html>