nsz Git - musl/blob - src/math/powl.c

   1 /* origin: OpenBSD /usr/src/lib/libm/src/ld80/e_powl.c */
   2 /*
   3  * Copyright (c) 2008 Stephen L. Moshier <steve@moshier.net>
   4  *
   5  * Permission to use, copy, modify, and distribute this software for any
   6  * purpose with or without fee is hereby granted, provided that the above
   7  * copyright notice and this permission notice appear in all copies.
   8  *
   9  * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS" AND THE AUTHOR DISCLAIMS ALL WARRANTIES
  10  * WITH REGARD TO THIS SOFTWARE INCLUDING ALL IMPLIED WARRANTIES OF
  11  * MERCHANTABILITY AND FITNESS. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR
  12  * ANY SPECIAL, DIRECT, INDIRECT, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES OR ANY DAMAGES
  13  * WHATSOEVER RESULTING FROM LOSS OF USE, DATA OR PROFITS, WHETHER IN AN
  14  * ACTION OF CONTRACT, NEGLIGENCE OR OTHER TORTIOUS ACTION, ARISING OUT OF
  15  * OR IN CONNECTION WITH THE USE OR PERFORMANCE OF THIS SOFTWARE.
  16  */
  17 /*                                                      powl.c
  18  *
  19  *      Power function, long double precision
  20  *
  21  *
  22  * SYNOPSIS:
  23  *
  24  * long double x, y, z, powl();
  25  *
  26  * z = powl( x, y );
  27  *
  28  *
  29  * DESCRIPTION:
  30  *
  31  * Computes x raised to the yth power.  Analytically,
  32  *
  33  *      x**y  =  exp( y log(x) ).
  34  *
  35  * Following Cody and Waite, this program uses a lookup table
  36  * of 2**-i/32 and pseudo extended precision arithmetic to
  37  * obtain several extra bits of accuracy in both the logarithm
  38  * and the exponential.
  39  *
  40  *
  41  * ACCURACY:
  42  *
  43  * The relative error of pow(x,y) can be estimated
  44  * by   y dl ln(2),   where dl is the absolute error of
  45  * the internally computed base 2 logarithm.  At the ends
  46  * of the approximation interval the logarithm equal 1/32
  47  * and its relative error is about 1 lsb = 1.1e-19.  Hence
  48  * the predicted relative error in the result is 2.3e-21 y .
  49  *
  50  *                      Relative error:
  51  * arithmetic   domain     # trials      peak         rms
  52  *
  53  *    IEEE     +-1000       40000      2.8e-18      3.7e-19
  54  * .001 < x < 1000, with log(x) uniformly distributed.
  55  * -1000 < y < 1000, y uniformly distributed.
  56  *
  57  *    IEEE     0,8700       60000      6.5e-18      1.0e-18
  58  * 0.99 < x < 1.01, 0 < y < 8700, uniformly distributed.
  59  *
  60  *
  61  * ERROR MESSAGES:
  62  *
  63  *   message         condition      value returned
  64  * pow overflow     x**y > MAXNUM      INFINITY
  65  * pow underflow   x**y < 1/MAXNUM       0.0
  66  * pow domain      x<0 and y noninteger  0.0
  67  *
  68  */
  69
  70 #include "libm.h"
  71
  72 #if LDBL_MANT_DIG == 53 && LDBL_MAX_EXP == 1024
  73 long double powl(long double x, long double y)
  74 {
  75         return pow(x, y);
  76 }
  77 #elif LDBL_MANT_DIG == 64 && LDBL_MAX_EXP == 16384
  78
  79 /* Table size */
  80 #define NXT 32
  81
  82 /* log(1+x) =  x - .5x^2 + x^3 *  P(z)/Q(z)
  83  * on the domain  2^(-1/32) - 1  <=  x  <=  2^(1/32) - 1
  84  */
  85 static const long double P[] = {
  86  8.3319510773868690346226E-4L,
  87  4.9000050881978028599627E-1L,
  88  1.7500123722550302671919E0L,
  89  1.4000100839971580279335E0L,
  90 };
  91 static const long double Q[] = {
  92 /* 1.0000000000000000000000E0L,*/
  93  5.2500282295834889175431E0L,
  94  8.4000598057587009834666E0L,
  95  4.2000302519914740834728E0L,
  96 };
  97 /* A[i] = 2^(-i/32), rounded to IEEE long double precision.
  98  * If i is even, A[i] + B[i/2] gives additional accuracy.
  99  */
 100 static const long double A[33] = {
 101  1.0000000000000000000000E0L,
 102  9.7857206208770013448287E-1L,
 103  9.5760328069857364691013E-1L,
 104  9.3708381705514995065011E-1L,
 105  9.1700404320467123175367E-1L,
 106  8.9735453750155359320742E-1L,
 107  8.7812608018664974155474E-1L,
 108  8.5930964906123895780165E-1L,
 109  8.4089641525371454301892E-1L,
 110  8.2287773907698242225554E-1L,
 111  8.0524516597462715409607E-1L,
 112  7.8799042255394324325455E-1L,
 113  7.7110541270397041179298E-1L,
 114  7.5458221379671136985669E-1L,
 115  7.3841307296974965571198E-1L,
 116  7.2259040348852331001267E-1L,
 117  7.0710678118654752438189E-1L,
 118  6.9195494098191597746178E-1L,
 119  6.7712777346844636413344E-1L,
 120  6.6261832157987064729696E-1L,
 121  6.4841977732550483296079E-1L,
 122  6.3452547859586661129850E-1L,
 123  6.2092890603674202431705E-1L,
 124  6.0762367999023443907803E-1L,
 125  5.9460355750136053334378E-1L,
 126  5.8186242938878875689693E-1L,
 127  5.6939431737834582684856E-1L,
 128  5.5719337129794626814472E-1L,
 129  5.4525386633262882960438E-1L,
 130  5.3357020033841180906486E-1L,
 131  5.2213689121370692017331E-1L,
 132  5.1094857432705833910408E-1L,
 133  5.0000000000000000000000E-1L,
 134 };
 135 static const long double B[17] = {
 136  0.0000000000000000000000E0L,
 137  2.6176170809902549338711E-20L,
 138 -1.0126791927256478897086E-20L,
 139  1.3438228172316276937655E-21L,
 140  1.2207982955417546912101E-20L,
 141 -6.3084814358060867200133E-21L,
 142  1.3164426894366316434230E-20L,
 143 -1.8527916071632873716786E-20L,
 144  1.8950325588932570796551E-20L,
 145  1.5564775779538780478155E-20L,
 146  6.0859793637556860974380E-21L,
 147 -2.0208749253662532228949E-20L,
 148  1.4966292219224761844552E-20L,
 149  3.3540909728056476875639E-21L,
 150 -8.6987564101742849540743E-22L,
 151 -1.2327176863327626135542E-20L,
 152  0.0000000000000000000000E0L,
 153 };
 154
 155 /* 2^x = 1 + x P(x),
 156  * on the interval -1/32 <= x <= 0
 157  */
 158 static const long double R[] = {
 159  1.5089970579127659901157E-5L,
 160  1.5402715328927013076125E-4L,
 161  1.3333556028915671091390E-3L,
 162  9.6181291046036762031786E-3L,
 163  5.5504108664798463044015E-2L,
 164  2.4022650695910062854352E-1L,
 165  6.9314718055994530931447E-1L,
 166 };
 167
 168 #define douba(k) A[k]
 169 #define doubb(k) B[k]
 170 #define MEXP (NXT*16384.0L)
 171 /* The following if denormal numbers are supported, else -MEXP: */
 172 #define MNEXP (-NXT*(16384.0L+64.0L))
 173 /* log2(e) - 1 */
 174 #define LOG2EA 0.44269504088896340735992L
 175
 176 #define F W
 177 #define Fa Wa
 178 #define Fb Wb
 179 #define G W
 180 #define Ga Wa
 181 #define Gb u
 182 #define H W
 183 #define Ha Wb
 184 #define Hb Wb
 185
 186 static const long double MAXLOGL = 1.1356523406294143949492E4L;
 187 static const long double MINLOGL = -1.13994985314888605586758E4L;
 188 static const long double LOGE2L = 6.9314718055994530941723E-1L;
 189 static const long double huge = 0x1p10000L;
 190 /* XXX Prevent gcc from erroneously constant folding this. */
 191 static const volatile long double twom10000 = 0x1p-10000L;
 192
 193 static long double reducl(long double);
 194 static long double powil(long double, int);
 195
 196 long double powl(long double x, long double y)
 197 {
 198         /* double F, Fa, Fb, G, Ga, Gb, H, Ha, Hb */
 199         int i, nflg, iyflg, yoddint;
 200         long e;
 201         volatile long double z=0;
 202         long double w=0, W=0, Wa=0, Wb=0, ya=0, yb=0, u=0;
 203
 204         /* make sure no invalid exception is raised by nan comparision */
 205         if (isnan(x)) {
 206                 if (!isnan(y) && y == 0.0)
 207                         return 1.0;
 208                 return x;
 209         }
 210         if (isnan(y)) {
 211                 if (x == 1.0)
 212                         return 1.0;
 213                 return y;
 214         }
 215         if (x == 1.0)
 216                 return 1.0; /* 1**y = 1, even if y is nan */
 217         if (x == -1.0 && !isfinite(y))
 218                 return 1.0; /* -1**inf = 1 */
 219         if (y == 0.0)
 220                 return 1.0; /* x**0 = 1, even if x is nan */
 221         if (y == 1.0)
 222                 return x;
 223         if (y >= LDBL_MAX) {
 224                 if (x > 1.0 || x < -1.0)
 225                         return INFINITY;
 226                 if (x != 0.0)
 227                         return 0.0;
 228         }
 229         if (y <= -LDBL_MAX) {
 230                 if (x > 1.0 || x < -1.0)
 231                         return 0.0;
 232                 if (x != 0.0)
 233                         return INFINITY;
 234         }
 235         if (x >= LDBL_MAX) {
 236                 if (y > 0.0)
 237                         return INFINITY;
 238                 return 0.0;
 239         }
 240
 241         w = floorl(y);
 242
 243         /* Set iyflg to 1 if y is an integer. */
 244         iyflg = 0;
 245         if (w == y)
 246                 iyflg = 1;
 247
 248         /* Test for odd integer y. */
 249         yoddint = 0;
 250         if (iyflg) {
 251                 ya = fabsl(y);
 252                 ya = floorl(0.5 * ya);
 253                 yb = 0.5 * fabsl(w);
 254                 if( ya != yb )
 255                         yoddint = 1;
 256         }
 257
 258         if (x <= -LDBL_MAX) {
 259                 if (y > 0.0) {
 260                         if (yoddint)
 261                                 return -INFINITY;
 262                         return INFINITY;
 263                 }
 264                 if (y < 0.0) {
 265                         if (yoddint)
 266                                 return -0.0;
 267                         return 0.0;
 268                 }
 269         }
 270         nflg = 0; /* (x<0)**(odd int) */
 271         if (x <= 0.0) {
 272                 if (x == 0.0) {
 273                         if (y < 0.0) {
 274                                 if (signbit(x) && yoddint)
 275                                         /* (-0.0)**(-odd int) = -inf, divbyzero */
 276                                         return -1.0/0.0;
 277                                 /* (+-0.0)**(negative) = inf, divbyzero */
 278                                 return 1.0/0.0;
 279                         }
 280                         if (signbit(x) && yoddint)
 281                                 return -0.0;
 282                         return 0.0;
 283                 }
 284                 if (iyflg == 0)
 285                         return (x - x) / (x - x); /* (x<0)**(non-int) is NaN */
 286                 /* (x<0)**(integer) */
 287                 if (yoddint)
 288                         nflg = 1; /* negate result */
 289                 x = -x;
 290         }
 291         /* (+integer)**(integer)  */
 292         if (iyflg && floorl(x) == x && fabsl(y) < 32768.0) {
 293                 w = powil(x, (int)y);
 294                 return nflg ? -w : w;
 295         }
 296
 297         /* separate significand from exponent */
 298         x = frexpl(x, &i);
 299         e = i;
 300
 301         /* find significand in antilog table A[] */
 302         i = 1;
 303         if (x <= douba(17))
 304                 i = 17;
 305         if (x <= douba(i+8))
 306                 i += 8;
 307         if (x <= douba(i+4))
 308                 i += 4;
 309         if (x <= douba(i+2))
 310                 i += 2;
 311         if (x >= douba(1))
 312                 i = -1;
 313         i += 1;
 314
 315         /* Find (x - A[i])/A[i]
 316          * in order to compute log(x/A[i]):
 317          *
 318          * log(x) = log( a x/a ) = log(a) + log(x/a)
 319          *
 320          * log(x/a) = log(1+v),  v = x/a - 1 = (x-a)/a
 321          */
 322         x -= douba(i);
 323         x -= doubb(i/2);
 324         x /= douba(i);
 325
 326         /* rational approximation for log(1+v):
 327          *
 328          * log(1+v)  =  v  -  v**2/2  +  v**3 P(v) / Q(v)
 329          */
 330         z = x*x;
 331         w = x * (z * __polevll(x, P, 3) / __p1evll(x, Q, 3));
 332         w = w - 0.5*z;
 333
 334         /* Convert to base 2 logarithm:
 335          * multiply by log2(e) = 1 + LOG2EA
 336          */
 337         z = LOG2EA * w;
 338         z += w;
 339         z += LOG2EA * x;
 340         z += x;
 341
 342         /* Compute exponent term of the base 2 logarithm. */
 343         w = -i / NXT;
 344         w += e;
 345         /* Now base 2 log of x is w + z. */
 346
 347         /* Multiply base 2 log by y, in extended precision. */
 348
 349         /* separate y into large part ya
 350          * and small part yb less than 1/NXT
 351          */
 352         ya = reducl(y);
 353         yb = y - ya;
 354
 355         /* (w+z)(ya+yb)
 356          * = w*ya + w*yb + z*y
 357          */
 358         F = z * y  +  w * yb;
 359         Fa = reducl(F);
 360         Fb = F - Fa;
 361
 362         G = Fa + w * ya;
 363         Ga = reducl(G);
 364         Gb = G - Ga;
 365
 366         H = Fb + Gb;
 367         Ha = reducl(H);
 368         w = (Ga + Ha) * NXT;
 369
 370         /* Test the power of 2 for overflow */
 371         if (w > MEXP)
 372                 return huge * huge;  /* overflow */
 373         if (w < MNEXP)
 374                 return twom10000 * twom10000;  /* underflow */
 375
 376         e = w;
 377         Hb = H - Ha;
 378
 379         if (Hb > 0.0) {
 380                 e += 1;
 381                 Hb -= 1.0/NXT;  /*0.0625L;*/
 382         }
 383
 384         /* Now the product y * log2(x)  =  Hb + e/NXT.
 385          *
 386          * Compute base 2 exponential of Hb,
 387          * where -0.0625 <= Hb <= 0.
 388          */
 389         z = Hb * __polevll(Hb, R, 6);  /*  z = 2**Hb - 1  */
 390
 391         /* Express e/NXT as an integer plus a negative number of (1/NXT)ths.
 392          * Find lookup table entry for the fractional power of 2.
 393          */
 394         if (e < 0)
 395                 i = 0;
 396         else
 397                 i = 1;
 398         i = e/NXT + i;
 399         e = NXT*i - e;
 400         w = douba(e);
 401         z = w * z;  /*  2**-e * ( 1 + (2**Hb-1) )  */
 402         z = z + w;
 403         z = scalbnl(z, i);  /* multiply by integer power of 2 */
 404
 405         if (nflg)
 406                 z = -z;
 407         return z;
 408 }
 409
 410
 411 /* Find a multiple of 1/NXT that is within 1/NXT of x. */
 412 static long double reducl(long double x)
 413 {
 414         long double t;
 415
 416         t = x * NXT;
 417         t = floorl(t);
 418         t = t / NXT;
 419         return t;
 420 }
 421
 422 /*
 423  *      Positive real raised to integer power, long double precision
 424  *
 425  *
 426  * SYNOPSIS:
 427  *
 428  * long double x, y, powil();
 429  * int n;
 430  *
 431  * y = powil( x, n );
 432  *
 433  *
 434  * DESCRIPTION:
 435  *
 436  * Returns argument x>0 raised to the nth power.
 437  * The routine efficiently decomposes n as a sum of powers of
 438  * two. The desired power is a product of two-to-the-kth
 439  * powers of x.  Thus to compute the 32767 power of x requires
 440  * 28 multiplications instead of 32767 multiplications.
 441  *
 442  *
 443  * ACCURACY:
 444  *
 445  *                      Relative error:
 446  * arithmetic   x domain   n domain  # trials      peak         rms
 447  *    IEEE     .001,1000  -1022,1023  50000       4.3e-17     7.8e-18
 448  *    IEEE        1,2     -1022,1023  20000       3.9e-17     7.6e-18
 449  *    IEEE     .99,1.01     0,8700    10000       3.6e-16     7.2e-17
 450  *
 451  * Returns MAXNUM on overflow, zero on underflow.
 452  */
 453
 454 static long double powil(long double x, int nn)
 455 {
 456         long double ww, y;
 457         long double s;
 458         int n, e, sign, lx;
 459
 460         if (nn == 0)
 461                 return 1.0;
 462
 463         if (nn < 0) {
 464                 sign = -1;
 465                 n = -nn;
 466         } else {
 467                 sign = 1;
 468                 n = nn;
 469         }
 470
 471         /* Overflow detection */
 472
 473         /* Calculate approximate logarithm of answer */
 474         s = x;
 475         s = frexpl( s, &lx);
 476         e = (lx - 1)*n;
 477         if ((e == 0) || (e > 64) || (e < -64)) {
 478                 s = (s - 7.0710678118654752e-1L) / (s +  7.0710678118654752e-1L);
 479                 s = (2.9142135623730950L * s - 0.5 + lx) * nn * LOGE2L;
 480         } else {
 481                 s = LOGE2L * e;
 482         }
 483
 484         if (s > MAXLOGL)
 485                 return huge * huge;  /* overflow */
 486
 487         if (s < MINLOGL)
 488                 return twom10000 * twom10000;  /* underflow */
 489         /* Handle tiny denormal answer, but with less accuracy
 490          * since roundoff error in 1.0/x will be amplified.
 491          * The precise demarcation should be the gradual underflow threshold.
 492          */
 493         if (s < -MAXLOGL+2.0) {
 494                 x = 1.0/x;
 495                 sign = -sign;
 496         }
 497
 498         /* First bit of the power */
 499         if (n & 1)
 500                 y = x;
 501         else
 502                 y = 1.0;
 503
 504         ww = x;
 505         n >>= 1;
 506         while (n) {
 507                 ww = ww * ww;   /* arg to the 2-to-the-kth power */
 508                 if (n & 1)     /* if that bit is set, then include in product */
 509                         y *= ww;
 510                 n >>= 1;
 511         }
 512
 513         if (sign < 0)
 514                 y = 1.0/y;
 515         return y;
 516 }
 517
 518 #endif