nsz Git - musl/blob - src/math/pow.c

   1 /* origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/e_pow.c */
   2 /*
   3  * ====================================================
   4  * Copyright (C) 2004 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
   5  *
   6  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
   7  * software is freely granted, provided that this notice
   8  * is preserved.
   9  * ====================================================
  10  */
  11 /* pow(x,y) return x**y
  12  *
  13  *                    n
  14  * Method:  Let x =  2   * (1+f)
  15  *      1. Compute and return log2(x) in two pieces:
  16  *              log2(x) = w1 + w2,
  17  *         where w1 has 53-24 = 29 bit trailing zeros.
  18  *      2. Perform y*log2(x) = n+y' by simulating muti-precision
  19  *         arithmetic, where |y'|<=0.5.
  20  *      3. Return x**y = 2**n*exp(y'*log2)
  21  *
  22  * Special cases:
  23  *      1.  (anything) ** 0  is 1
  24  *      2.  (anything) ** 1  is itself
  25  *      3.  (anything except 1) ** NAN is NAN,  1 ** NAN is 1
  26  *      4.  NAN ** (anything except 0) is NAN
  27  *      5.  +-(|x| > 1) **  +INF is +INF
  28  *      6.  +-(|x| > 1) **  -INF is +0
  29  *      7.  +-(|x| < 1) **  +INF is +0
  30  *      8.  +-(|x| < 1) **  -INF is +INF
  31  *      9.  +-1         ** +-INF is 1
  32  *      10. +0 ** (+anything except 0, NAN)               is +0
  33  *      11. -0 ** (+anything except 0, NAN, odd integer)  is +0
  34  *      12. +0 ** (-anything except 0, NAN)               is +INF
  35  *      13. -0 ** (-anything except 0, NAN, odd integer)  is +INF
  36  *      14. -0 ** (odd integer) = -( +0 ** (odd integer) )
  37  *      15. +INF ** (+anything except 0,NAN) is +INF
  38  *      16. +INF ** (-anything except 0,NAN) is +0
  39  *      17. -INF ** (anything)  = -0 ** (-anything)
  40  *      18. (-anything) ** (integer) is (-1)**(integer)*(+anything**integer)
  41  *      19. (-anything except 0 and inf) ** (non-integer) is NAN
  42  *
  43  * Accuracy:
  44  *      pow(x,y) returns x**y nearly rounded. In particular
  45  *                      pow(integer,integer)
  46  *      always returns the correct integer provided it is
  47  *      representable.
  48  *
  49  * Constants :
  50  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
  51  * constants. The decimal values may be used, provided that the
  52  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
  53  * to produce the hexadecimal values shown.
  54  */
  55
  56 #include "libm.h"
  57
  58 static const double
  59 bp[]   = {1.0, 1.5,},
  60 dp_h[] = { 0.0, 5.84962487220764160156e-01,}, /* 0x3FE2B803, 0x40000000 */
  61 dp_l[] = { 0.0, 1.35003920212974897128e-08,}, /* 0x3E4CFDEB, 0x43CFD006 */
  62 zero   =  0.0,
  63 one    =  1.0,
  64 two    =  2.0,
  65 two53  =  9007199254740992.0, /* 0x43400000, 0x00000000 */
  66 huge   =  1.0e300,
  67 tiny   =  1.0e-300,
  68 /* poly coefs for (3/2)*(log(x)-2s-2/3*s**3 */
  69 L1 =  5.99999999999994648725e-01, /* 0x3FE33333, 0x33333303 */
  70 L2 =  4.28571428578550184252e-01, /* 0x3FDB6DB6, 0xDB6FABFF */
  71 L3 =  3.33333329818377432918e-01, /* 0x3FD55555, 0x518F264D */
  72 L4 =  2.72728123808534006489e-01, /* 0x3FD17460, 0xA91D4101 */
  73 L5 =  2.30660745775561754067e-01, /* 0x3FCD864A, 0x93C9DB65 */
  74 L6 =  2.06975017800338417784e-01, /* 0x3FCA7E28, 0x4A454EEF */
  75 P1 =  1.66666666666666019037e-01, /* 0x3FC55555, 0x5555553E */
  76 P2 = -2.77777777770155933842e-03, /* 0xBF66C16C, 0x16BEBD93 */
  77 P3 =  6.61375632143793436117e-05, /* 0x3F11566A, 0xAF25DE2C */
  78 P4 = -1.65339022054652515390e-06, /* 0xBEBBBD41, 0xC5D26BF1 */
  79 P5 =  4.13813679705723846039e-08, /* 0x3E663769, 0x72BEA4D0 */
  80 lg2     =  6.93147180559945286227e-01, /* 0x3FE62E42, 0xFEFA39EF */
  81 lg2_h   =  6.93147182464599609375e-01, /* 0x3FE62E43, 0x00000000 */
  82 lg2_l   = -1.90465429995776804525e-09, /* 0xBE205C61, 0x0CA86C39 */
  83 ovt     =  8.0085662595372944372e-017, /* -(1024-log2(ovfl+.5ulp)) */
  84 cp      =  9.61796693925975554329e-01, /* 0x3FEEC709, 0xDC3A03FD =2/(3ln2) */
  85 cp_h    =  9.61796700954437255859e-01, /* 0x3FEEC709, 0xE0000000 =(float)cp */
  86 cp_l    = -7.02846165095275826516e-09, /* 0xBE3E2FE0, 0x145B01F5 =tail of cp_h*/
  87 ivln2   =  1.44269504088896338700e+00, /* 0x3FF71547, 0x652B82FE =1/ln2 */
  88 ivln2_h =  1.44269502162933349609e+00, /* 0x3FF71547, 0x60000000 =24b 1/ln2*/
  89 ivln2_l =  1.92596299112661746887e-08; /* 0x3E54AE0B, 0xF85DDF44 =1/ln2 tail*/
  90
  91 double pow(double x, double y)
  92 {
  93         double z,ax,z_h,z_l,p_h,p_l;
  94         double y1,t1,t2,r,s,t,u,v,w;
  95         int32_t i,j,k,yisint,n;
  96         int32_t hx,hy,ix,iy;
  97         uint32_t lx,ly;
  98
  99         EXTRACT_WORDS(hx, lx, x);
 100         EXTRACT_WORDS(hy, ly, y);
 101         ix = hx & 0x7fffffff;
 102         iy = hy & 0x7fffffff;
 103
 104         /* y == zero: x**0 = 1 */
 105         if ((iy|ly) == 0)
 106                 return one;
 107
 108         /* x == 1: 1**y = 1, even if y is NaN */
 109         if (hx == 0x3ff00000 && lx == 0)
 110                 return one;
 111
 112         /* y != zero: result is NaN if either arg is NaN */
 113         if (ix > 0x7ff00000 || (ix == 0x7ff00000 && lx != 0) ||
 114             iy > 0x7ff00000 || (iy == 0x7ff00000 && ly != 0))
 115                 return (x+0.0) + (y+0.0);
 116
 117         /* determine if y is an odd int when x < 0
 118          * yisint = 0       ... y is not an integer
 119          * yisint = 1       ... y is an odd int
 120          * yisint = 2       ... y is an even int
 121          */
 122         yisint = 0;
 123         if (hx < 0) {
 124                 if (iy >= 0x43400000)
 125                         yisint = 2; /* even integer y */
 126                 else if (iy >= 0x3ff00000) {
 127                         k = (iy>>20) - 0x3ff;  /* exponent */
 128                         if (k > 20) {
 129                                 j = ly>>(52-k);
 130                                 if ((j<<(52-k)) == ly)
 131                                         yisint = 2 - (j&1);
 132                         } else if (ly == 0) {
 133                                 j = iy>>(20-k);
 134                                 if ((j<<(20-k)) == iy)
 135                                         yisint = 2 - (j&1);
 136                         }
 137                 }
 138         }
 139
 140         /* special value of y */
 141         if (ly == 0) {
 142                 if (iy == 0x7ff00000) {  /* y is +-inf */
 143                         if (((ix-0x3ff00000)|lx) == 0)  /* (-1)**+-inf is 1 */
 144                                 return one;
 145                         else if (ix >= 0x3ff00000) /* (|x|>1)**+-inf = inf,0 */
 146                                 return hy >= 0 ? y : zero;
 147                         else                       /* (|x|<1)**+-inf = 0,inf */
 148                                 return hy < 0 ? -y : zero;
 149                 }
 150                 if (iy == 0x3ff00000) {  /* y is +-1 */
 151                         if (hy < 0)
 152                                 return one/x;
 153                         return x;
 154                 }
 155                 if (hy == 0x40000000)    /* y is 2 */
 156                         return x*x;
 157                 if (hy == 0x3fe00000) {  /* y is 0.5 */
 158                         if (hx >= 0)     /* x >= +0 */
 159                                 return sqrt(x);
 160                 }
 161         }
 162
 163         ax = fabs(x);
 164         /* special value of x */
 165         if (lx == 0) {
 166                 if (ix == 0x7ff00000 || ix == 0 || ix == 0x3ff00000) { /* x is +-0,+-inf,+-1 */
 167                         z = ax;
 168                         if (hy < 0)   /* z = (1/|x|) */
 169                                 z = one/z;
 170                         if (hx < 0) {
 171                                 if (((ix-0x3ff00000)|yisint) == 0) {
 172                                         z = (z-z)/(z-z); /* (-1)**non-int is NaN */
 173                                 } else if (yisint == 1)
 174                                         z = -z;          /* (x<0)**odd = -(|x|**odd) */
 175                         }
 176                         return z;
 177                 }
 178         }
 179
 180         /* CYGNUS LOCAL + fdlibm-5.3 fix: This used to be
 181         n = (hx>>31)+1;
 182            but ANSI C says a right shift of a signed negative quantity is
 183            implementation defined.  */
 184         n = ((uint32_t)hx>>31) - 1;
 185
 186         /* (x<0)**(non-int) is NaN */
 187         if ((n|yisint) == 0)
 188                 return (x-x)/(x-x);
 189
 190         s = one; /* s (sign of result -ve**odd) = -1 else = 1 */
 191         if ((n|(yisint-1)) == 0)
 192                 s = -one;/* (-ve)**(odd int) */
 193
 194         /* |y| is huge */
 195         if (iy > 0x41e00000) { /* if |y| > 2**31 */
 196                 if (iy > 0x43f00000) {  /* if |y| > 2**64, must o/uflow */
 197                         if (ix <= 0x3fefffff)
 198                                 return hy < 0 ? huge*huge : tiny*tiny;
 199                         if (ix >= 0x3ff00000)
 200                                 return hy > 0 ? huge*huge : tiny*tiny;
 201                 }
 202                 /* over/underflow if x is not close to one */
 203                 if (ix < 0x3fefffff)
 204                         return hy < 0 ? s*huge*huge : s*tiny*tiny;
 205                 if (ix > 0x3ff00000)
 206                         return hy > 0 ? s*huge*huge : s*tiny*tiny;
 207                 /* now |1-x| is tiny <= 2**-20, suffice to compute
 208                    log(x) by x-x^2/2+x^3/3-x^4/4 */
 209                 t = ax - one;       /* t has 20 trailing zeros */
 210                 w = (t*t)*(0.5 - t*(0.3333333333333333333333-t*0.25));
 211                 u = ivln2_h*t;      /* ivln2_h has 21 sig. bits */
 212                 v = t*ivln2_l - w*ivln2;
 213                 t1 = u + v;
 214                 SET_LOW_WORD(t1, 0);
 215                 t2 = v - (t1-u);
 216         } else {
 217                 double ss,s2,s_h,s_l,t_h,t_l;
 218                 n = 0;
 219                 /* take care subnormal number */
 220                 if (ix < 0x00100000) {
 221                         ax *= two53;
 222                         n -= 53;
 223                         GET_HIGH_WORD(ix,ax);
 224                 }
 225                 n += ((ix)>>20) - 0x3ff;
 226                 j = ix & 0x000fffff;
 227                 /* determine interval */
 228                 ix = j | 0x3ff00000;   /* normalize ix */
 229                 if (j <= 0x3988E)      /* |x|<sqrt(3/2) */
 230                         k = 0;
 231                 else if (j < 0xBB67A)  /* |x|<sqrt(3)   */
 232                         k = 1;
 233                 else {
 234                         k = 0;
 235                         n += 1;
 236                         ix -= 0x00100000;
 237                 }
 238                 SET_HIGH_WORD(ax, ix);
 239
 240                 /* compute ss = s_h+s_l = (x-1)/(x+1) or (x-1.5)/(x+1.5) */
 241                 u = ax - bp[k];        /* bp[0]=1.0, bp[1]=1.5 */
 242                 v = one/(ax+bp[k]);
 243                 ss = u*v;
 244                 s_h = ss;
 245                 SET_LOW_WORD(s_h, 0);
 246                 /* t_h=ax+bp[k] High */
 247                 t_h = zero;
 248                 SET_HIGH_WORD(t_h, ((ix>>1)|0x20000000) + 0x00080000 + (k<<18));
 249                 t_l = ax - (t_h-bp[k]);
 250                 s_l = v*((u-s_h*t_h)-s_h*t_l);
 251                 /* compute log(ax) */
 252                 s2 = ss*ss;
 253                 r = s2*s2*(L1+s2*(L2+s2*(L3+s2*(L4+s2*(L5+s2*L6)))));
 254                 r += s_l*(s_h+ss);
 255                 s2 = s_h*s_h;
 256                 t_h = 3.0 + s2 + r;
 257                 SET_LOW_WORD(t_h, 0);
 258                 t_l = r - ((t_h-3.0)-s2);
 259                 /* u+v = ss*(1+...) */
 260                 u = s_h*t_h;
 261                 v = s_l*t_h + t_l*ss;
 262                 /* 2/(3log2)*(ss+...) */
 263                 p_h = u + v;
 264                 SET_LOW_WORD(p_h, 0);
 265                 p_l = v - (p_h-u);
 266                 z_h = cp_h*p_h;        /* cp_h+cp_l = 2/(3*log2) */
 267                 z_l = cp_l*p_h+p_l*cp + dp_l[k];
 268                 /* log2(ax) = (ss+..)*2/(3*log2) = n + dp_h + z_h + z_l */
 269                 t = (double)n;
 270                 t1 = ((z_h + z_l) + dp_h[k]) + t;
 271                 SET_LOW_WORD(t1, 0);
 272                 t2 = z_l - (((t1 - t) - dp_h[k]) - z_h);
 273         }
 274
 275         /* split up y into y1+y2 and compute (y1+y2)*(t1+t2) */
 276         y1 = y;
 277         SET_LOW_WORD(y1, 0);
 278         p_l = (y-y1)*t1 + y*t2;
 279         p_h = y1*t1;
 280         z = p_l + p_h;
 281         EXTRACT_WORDS(j, i, z);
 282         if (j >= 0x40900000) {                      /* z >= 1024 */
 283                 if (((j-0x40900000)|i) != 0)        /* if z > 1024 */
 284                         return s*huge*huge;         /* overflow */
 285                 if (p_l + ovt > z - p_h)
 286                         return s*huge*huge;         /* overflow */
 287         } else if ((j&0x7fffffff) >= 0x4090cc00) {  /* z <= -1075 */  // FIXME: instead of abs(j) use unsigned j
 288                 if (((j-0xc090cc00)|i) != 0)        /* z < -1075 */
 289                         return s*tiny*tiny;         /* underflow */
 290                 if (p_l <= z - p_h)
 291                         return s*tiny*tiny;         /* underflow */
 292         }
 293         /*
 294          * compute 2**(p_h+p_l)
 295          */
 296         i = j & 0x7fffffff;
 297         k = (i>>20) - 0x3ff;
 298         n = 0;
 299         if (i > 0x3fe00000) {  /* if |z| > 0.5, set n = [z+0.5] */
 300                 n = j + (0x00100000>>(k+1));
 301                 k = ((n&0x7fffffff)>>20) - 0x3ff;  /* new k for n */
 302                 t = zero;
 303                 SET_HIGH_WORD(t, n & ~(0x000fffff>>k));
 304                 n = ((n&0x000fffff)|0x00100000)>>(20-k);
 305                 if (j < 0)
 306                         n = -n;
 307                 p_h -= t;
 308         }
 309         t = p_l + p_h;
 310         SET_LOW_WORD(t, 0);
 311         u = t*lg2_h;
 312         v = (p_l-(t-p_h))*lg2 + t*lg2_l;
 313         z = u + v;
 314         w = v - (z-u);
 315         t = z*z;
 316         t1 = z - t*(P1+t*(P2+t*(P3+t*(P4+t*P5))));
 317         r = (z*t1)/(t1-two) - (w + z*w);
 318         z = one - (r-z);
 319         GET_HIGH_WORD(j, z);
 320         j += n<<20;
 321         if ((j>>20) <= 0)  /* subnormal output */
 322                 z = scalbn(z,n);
 323         else
 324                 SET_HIGH_WORD(z, j);
 325         return s*z;
 326 }