nsz Git - musl/blob - src/math/exp.c

   1 /* origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/e_exp.c */
   2 /*
   3  * ====================================================
   4  * Copyright (C) 2004 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
   5  *
   6  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
   7  * software is freely granted, provided that this notice
   8  * is preserved.
   9  * ====================================================
  10  */
  11 /* exp(x)
  12  * Returns the exponential of x.
  13  *
  14  * Method
  15  *   1. Argument reduction:
  16  *      Reduce x to an r so that |r| <= 0.5*ln2 ~ 0.34658.
  17  *      Given x, find r and integer k such that
  18  *
  19  *               x = k*ln2 + r,  |r| <= 0.5*ln2.
  20  *
  21  *      Here r will be represented as r = hi-lo for better
  22  *      accuracy.
  23  *
  24  *   2. Approximation of exp(r) by a special rational function on
  25  *      the interval [0,0.34658]:
  26  *      Write
  27  *          R(r**2) = r*(exp(r)+1)/(exp(r)-1) = 2 + r*r/6 - r**4/360 + ...
  28  *      We use a special Remes algorithm on [0,0.34658] to generate
  29  *      a polynomial of degree 5 to approximate R. The maximum error
  30  *      of this polynomial approximation is bounded by 2**-59. In
  31  *      other words,
  32  *          R(z) ~ 2.0 + P1*z + P2*z**2 + P3*z**3 + P4*z**4 + P5*z**5
  33  *      (where z=r*r, and the values of P1 to P5 are listed below)
  34  *      and
  35  *          |                  5          |     -59
  36  *          | 2.0+P1*z+...+P5*z   -  R(z) | <= 2
  37  *          |                             |
  38  *      The computation of exp(r) thus becomes
  39  *                             2*r
  40  *              exp(r) = 1 + -------
  41  *                            R - r
  42  *                                 r*R1(r)
  43  *                     = 1 + r + ----------- (for better accuracy)
  44  *                                2 - R1(r)
  45  *      where
  46  *                               2       4             10
  47  *              R1(r) = r - (P1*r  + P2*r  + ... + P5*r   ).
  48  *
  49  *   3. Scale back to obtain exp(x):
  50  *      From step 1, we have
  51  *         exp(x) = 2^k * exp(r)
  52  *
  53  * Special cases:
  54  *      exp(INF) is INF, exp(NaN) is NaN;
  55  *      exp(-INF) is 0, and
  56  *      for finite argument, only exp(0)=1 is exact.
  57  *
  58  * Accuracy:
  59  *      according to an error analysis, the error is always less than
  60  *      1 ulp (unit in the last place).
  61  *
  62  * Misc. info.
  63  *      For IEEE double
  64  *          if x >  7.09782712893383973096e+02 then exp(x) overflow
  65  *          if x < -7.45133219101941108420e+02 then exp(x) underflow
  66  *
  67  * Constants:
  68  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
  69  * constants. The decimal values may be used, provided that the
  70  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
  71  * to produce the hexadecimal values shown.
  72  */
  73
  74 #include "libm.h"
  75
  76 static const double
  77 one     = 1.0,
  78 halF[2] = {0.5,-0.5,},
  79 huge    = 1.0e+300,
  80 o_threshold =  7.09782712893383973096e+02, /* 0x40862E42, 0xFEFA39EF */
  81 u_threshold = -7.45133219101941108420e+02, /* 0xc0874910, 0xD52D3051 */
  82 ln2HI[2]   = { 6.93147180369123816490e-01, /* 0x3fe62e42, 0xfee00000 */
  83               -6.93147180369123816490e-01},/* 0xbfe62e42, 0xfee00000 */
  84 ln2LO[2]   = { 1.90821492927058770002e-10, /* 0x3dea39ef, 0x35793c76 */
  85               -1.90821492927058770002e-10},/* 0xbdea39ef, 0x35793c76 */
  86 invln2 = 1.44269504088896338700e+00, /* 0x3ff71547, 0x652b82fe */
  87 P1   =  1.66666666666666019037e-01, /* 0x3FC55555, 0x5555553E */
  88 P2   = -2.77777777770155933842e-03, /* 0xBF66C16C, 0x16BEBD93 */
  89 P3   =  6.61375632143793436117e-05, /* 0x3F11566A, 0xAF25DE2C */
  90 P4   = -1.65339022054652515390e-06, /* 0xBEBBBD41, 0xC5D26BF1 */
  91 P5   =  4.13813679705723846039e-08; /* 0x3E663769, 0x72BEA4D0 */
  92
  93 static const volatile double
  94 twom1000 = 9.33263618503218878990e-302; /* 2**-1000=0x01700000,0 */
  95
  96 double exp(double x)
  97 {
  98         double y,hi=0.0,lo=0.0,c,t,twopk;
  99         int32_t k=0,xsb;
 100         uint32_t hx;
 101
 102         GET_HIGH_WORD(hx, x);
 103         xsb = (hx>>31)&1;  /* sign bit of x */
 104         hx &= 0x7fffffff;  /* high word of |x| */
 105
 106         /* filter out non-finite argument */
 107         if (hx >= 0x40862E42) {  /* if |x| >= 709.78... */
 108                 if (hx >= 0x7ff00000) {
 109                         uint32_t lx;
 110
 111                         GET_LOW_WORD(lx,x);
 112                         if (((hx&0xfffff)|lx) != 0)  /* NaN */
 113                                  return x+x;
 114                         return xsb==0 ? x : 0.0;  /* exp(+-inf)={inf,0} */
 115                 }
 116                 if (x > o_threshold)
 117                         return huge*huge; /* overflow */
 118                 if (x < u_threshold)
 119                         return twom1000*twom1000; /* underflow */
 120         }
 121
 122         /* argument reduction */
 123         if (hx > 0x3fd62e42) {  /* if  |x| > 0.5 ln2 */
 124                 if (hx < 0x3FF0A2B2) {  /* and |x| < 1.5 ln2 */
 125                         hi = x-ln2HI[xsb];
 126                         lo = ln2LO[xsb];
 127                         k = 1 - xsb - xsb;
 128                 } else {
 129                         k  = (int)(invln2*x+halF[xsb]);
 130                         t  = k;
 131                         hi = x - t*ln2HI[0];  /* t*ln2HI is exact here */
 132                         lo = t*ln2LO[0];
 133                 }
 134                 STRICT_ASSIGN(double, x, hi - lo);
 135         } else if(hx < 0x3e300000)  {  /* |x| < 2**-28 */
 136                 /* raise inexact */
 137                 if (huge+x > one)
 138                         return one+x;
 139         } else
 140                 k = 0;
 141
 142         /* x is now in primary range */
 143         t  = x*x;
 144         if (k >= -1021)
 145                 INSERT_WORDS(twopk, 0x3ff00000+(k<<20), 0);
 146         else
 147                 INSERT_WORDS(twopk, 0x3ff00000+((k+1000)<<20), 0);
 148         c  = x - t*(P1+t*(P2+t*(P3+t*(P4+t*P5))));
 149         if (k == 0)
 150                 return one - ((x*c)/(c-2.0) - x);
 151         y = one-((lo-(x*c)/(2.0-c))-hi);
 152         if (k < -1021)
 153                 return y*twopk*twom1000;
 154         if (k == 1024)
 155                 return y*2.0*0x1p1023;
 156         return y*twopk;
 157 }