nsz Git - musl/blob - src/math/erfl.c

   1 /* origin: OpenBSD /usr/src/lib/libm/src/ld80/e_erfl.c */
   2 /*
   3  * ====================================================
   4  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
   5  *
   6  * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
   7  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
   8  * software is freely granted, provided that this notice
   9  * is preserved.
  10  * ====================================================
  11  */
  12 /*
  13  * Copyright (c) 2008 Stephen L. Moshier <steve@moshier.net>
  14  *
  15  * Permission to use, copy, modify, and distribute this software for any
  16  * purpose with or without fee is hereby granted, provided that the above
  17  * copyright notice and this permission notice appear in all copies.
  18  *
  19  * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS" AND THE AUTHOR DISCLAIMS ALL WARRANTIES
  20  * WITH REGARD TO THIS SOFTWARE INCLUDING ALL IMPLIED WARRANTIES OF
  21  * MERCHANTABILITY AND FITNESS. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR
  22  * ANY SPECIAL, DIRECT, INDIRECT, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES OR ANY DAMAGES
  23  * WHATSOEVER RESULTING FROM LOSS OF USE, DATA OR PROFITS, WHETHER IN AN
  24  * ACTION OF CONTRACT, NEGLIGENCE OR OTHER TORTIOUS ACTION, ARISING OUT OF
  25  * OR IN CONNECTION WITH THE USE OR PERFORMANCE OF THIS SOFTWARE.
  26  */
  27 /* double erf(double x)
  28  * double erfc(double x)
  29  *                           x
  30  *                    2      |\
  31  *     erf(x)  =  ---------  | exp(-t*t)dt
  32  *                 sqrt(pi) \|
  33  *                           0
  34  *
  35  *     erfc(x) =  1-erf(x)
  36  *  Note that
  37  *              erf(-x) = -erf(x)
  38  *              erfc(-x) = 2 - erfc(x)
  39  *
  40  * Method:
  41  *      1. For |x| in [0, 0.84375]
  42  *          erf(x)  = x + x*R(x^2)
  43  *          erfc(x) = 1 - erf(x)           if x in [-.84375,0.25]
  44  *                  = 0.5 + ((0.5-x)-x*R)  if x in [0.25,0.84375]
  45  *         Remark. The formula is derived by noting
  46  *          erf(x) = (2/sqrt(pi))*(x - x^3/3 + x^5/10 - x^7/42 + ....)
  47  *         and that
  48  *          2/sqrt(pi) = 1.128379167095512573896158903121545171688
  49  *         is close to one. The interval is chosen because the fix
  50  *         point of erf(x) is near 0.6174 (i.e., erf(x)=x when x is
  51  *         near 0.6174), and by some experiment, 0.84375 is chosen to
  52  *         guarantee the error is less than one ulp for erf.
  53  *
  54  *      2. For |x| in [0.84375,1.25], let s = |x| - 1, and
  55  *         c = 0.84506291151 rounded to single (24 bits)
  56  *      erf(x)  = sign(x) * (c  + P1(s)/Q1(s))
  57  *      erfc(x) = (1-c)  - P1(s)/Q1(s) if x > 0
  58  *                        1+(c+P1(s)/Q1(s))    if x < 0
  59  *         Remark: here we use the taylor series expansion at x=1.
  60  *              erf(1+s) = erf(1) + s*Poly(s)
  61  *                       = 0.845.. + P1(s)/Q1(s)
  62  *         Note that |P1/Q1|< 0.078 for x in [0.84375,1.25]
  63  *
  64  *      3. For x in [1.25,1/0.35(~2.857143)],
  65  *      erfc(x) = (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R1(z)/S1(z))
  66  *              z=1/x^2
  67  *      erf(x)  = 1 - erfc(x)
  68  *
  69  *      4. For x in [1/0.35,107]
  70  *      erfc(x) = (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R2/S2) if x > 0
  71  *                      = 2.0 - (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R2(z)/S2(z))
  72  *                             if -6.666<x<0
  73  *                      = 2.0 - tiny            (if x <= -6.666)
  74  *              z=1/x^2
  75  *      erf(x)  = sign(x)*(1.0 - erfc(x)) if x < 6.666, else
  76  *      erf(x)  = sign(x)*(1.0 - tiny)
  77  *      Note1:
  78  *         To compute exp(-x*x-0.5625+R/S), let s be a single
  79  *         precision number and s := x; then
  80  *              -x*x = -s*s + (s-x)*(s+x)
  81  *              exp(-x*x-0.5626+R/S) =
  82  *                      exp(-s*s-0.5625)*exp((s-x)*(s+x)+R/S);
  83  *      Note2:
  84  *         Here 4 and 5 make use of the asymptotic series
  85  *                        exp(-x*x)
  86  *              erfc(x) ~ ---------- * ( 1 + Poly(1/x^2) )
  87  *                        x*sqrt(pi)
  88  *
  89  *      5. For inf > x >= 107
  90  *      erf(x)  = sign(x) *(1 - tiny)  (raise inexact)
  91  *      erfc(x) = tiny*tiny (raise underflow) if x > 0
  92  *                      = 2 - tiny if x<0
  93  *
  94  *      7. Special case:
  95  *      erf(0)  = 0, erf(inf)  = 1, erf(-inf) = -1,
  96  *      erfc(0) = 1, erfc(inf) = 0, erfc(-inf) = 2,
  97  *              erfc/erf(NaN) is NaN
  98  */
  99
 100
 101 #include "libm.h"
 102
 103 #if LDBL_MANT_DIG == 53 && LDBL_MAX_EXP == 1024
 104 long double erfl(long double x)
 105 {
 106         return erf(x);
 107 }
 108 #elif LDBL_MANT_DIG == 64 && LDBL_MAX_EXP == 16384
 109 static const long double
 110 erx = 0.845062911510467529296875L,
 111
 112 /*
 113  * Coefficients for approximation to  erf on [0,0.84375]
 114  */
 115 /* 8 * (2/sqrt(pi) - 1) */
 116 efx8 = 1.0270333367641005911692712249723613735048E0L,
 117 pp[6] = {
 118         1.122751350964552113068262337278335028553E6L,
 119         -2.808533301997696164408397079650699163276E6L,
 120         -3.314325479115357458197119660818768924100E5L,
 121         -6.848684465326256109712135497895525446398E4L,
 122         -2.657817695110739185591505062971929859314E3L,
 123         -1.655310302737837556654146291646499062882E2L,
 124 },
 125 qq[6] = {
 126         8.745588372054466262548908189000448124232E6L,
 127         3.746038264792471129367533128637019611485E6L,
 128         7.066358783162407559861156173539693900031E5L,
 129         7.448928604824620999413120955705448117056E4L,
 130         4.511583986730994111992253980546131408924E3L,
 131         1.368902937933296323345610240009071254014E2L,
 132         /* 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
 133 },
 134
 135 /*
 136  * Coefficients for approximation to  erf  in [0.84375,1.25]
 137  */
 138 /* erf(x+1) = 0.845062911510467529296875 + pa(x)/qa(x)
 139    -0.15625 <= x <= +.25
 140    Peak relative error 8.5e-22  */
 141 pa[8] = {
 142         -1.076952146179812072156734957705102256059E0L,
 143          1.884814957770385593365179835059971587220E2L,
 144         -5.339153975012804282890066622962070115606E1L,
 145          4.435910679869176625928504532109635632618E1L,
 146          1.683219516032328828278557309642929135179E1L,
 147         -2.360236618396952560064259585299045804293E0L,
 148          1.852230047861891953244413872297940938041E0L,
 149          9.394994446747752308256773044667843200719E-2L,
 150 },
 151 qa[7] =  {
 152         4.559263722294508998149925774781887811255E2L,
 153         3.289248982200800575749795055149780689738E2L,
 154         2.846070965875643009598627918383314457912E2L,
 155         1.398715859064535039433275722017479994465E2L,
 156         6.060190733759793706299079050985358190726E1L,
 157         2.078695677795422351040502569964299664233E1L,
 158         4.641271134150895940966798357442234498546E0L,
 159         /* 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
 160 },
 161
 162 /*
 163  * Coefficients for approximation to  erfc in [1.25,1/0.35]
 164  */
 165 /* erfc(1/x) = x exp (-1/x^2 - 0.5625 + ra(x^2)/sa(x^2))
 166    1/2.85711669921875 < 1/x < 1/1.25
 167    Peak relative error 3.1e-21  */
 168 ra[] = {
 169         1.363566591833846324191000679620738857234E-1L,
 170         1.018203167219873573808450274314658434507E1L,
 171         1.862359362334248675526472871224778045594E2L,
 172         1.411622588180721285284945138667933330348E3L,
 173         5.088538459741511988784440103218342840478E3L,
 174         8.928251553922176506858267311750789273656E3L,
 175         7.264436000148052545243018622742770549982E3L,
 176         2.387492459664548651671894725748959751119E3L,
 177         2.220916652813908085449221282808458466556E2L,
 178 },
 179 sa[] = {
 180         -1.382234625202480685182526402169222331847E1L,
 181         -3.315638835627950255832519203687435946482E2L,
 182         -2.949124863912936259747237164260785326692E3L,
 183         -1.246622099070875940506391433635999693661E4L,
 184         -2.673079795851665428695842853070996219632E4L,
 185         -2.880269786660559337358397106518918220991E4L,
 186         -1.450600228493968044773354186390390823713E4L,
 187         -2.874539731125893533960680525192064277816E3L,
 188         -1.402241261419067750237395034116942296027E2L,
 189         /* 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
 190 },
 191
 192 /*
 193  * Coefficients for approximation to  erfc in [1/.35,107]
 194  */
 195 /* erfc(1/x) = x exp (-1/x^2 - 0.5625 + rb(x^2)/sb(x^2))
 196    1/6.6666259765625 < 1/x < 1/2.85711669921875
 197    Peak relative error 4.2e-22  */
 198 rb[] = {
 199         -4.869587348270494309550558460786501252369E-5L,
 200         -4.030199390527997378549161722412466959403E-3L,
 201         -9.434425866377037610206443566288917589122E-2L,
 202         -9.319032754357658601200655161585539404155E-1L,
 203         -4.273788174307459947350256581445442062291E0L,
 204         -8.842289940696150508373541814064198259278E0L,
 205         -7.069215249419887403187988144752613025255E0L,
 206         -1.401228723639514787920274427443330704764E0L,
 207 },
 208 sb[] = {
 209         4.936254964107175160157544545879293019085E-3L,
 210         1.583457624037795744377163924895349412015E-1L,
 211         1.850647991850328356622940552450636420484E0L,
 212         9.927611557279019463768050710008450625415E0L,
 213         2.531667257649436709617165336779212114570E1L,
 214         2.869752886406743386458304052862814690045E1L,
 215         1.182059497870819562441683560749192539345E1L,
 216         /* 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
 217 },
 218 /* erfc(1/x) = x exp (-1/x^2 - 0.5625 + rc(x^2)/sc(x^2))
 219    1/107 <= 1/x <= 1/6.6666259765625
 220    Peak relative error 1.1e-21  */
 221 rc[] = {
 222         -8.299617545269701963973537248996670806850E-5L,
 223         -6.243845685115818513578933902532056244108E-3L,
 224         -1.141667210620380223113693474478394397230E-1L,
 225         -7.521343797212024245375240432734425789409E-1L,
 226         -1.765321928311155824664963633786967602934E0L,
 227         -1.029403473103215800456761180695263439188E0L,
 228 },
 229 sc[] = {
 230         8.413244363014929493035952542677768808601E-3L,
 231         2.065114333816877479753334599639158060979E-1L,
 232         1.639064941530797583766364412782135680148E0L,
 233         4.936788463787115555582319302981666347450E0L,
 234         5.005177727208955487404729933261347679090E0L,
 235         /* 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
 236 };
 237
 238 static long double erfc1(long double x)
 239 {
 240         long double s,P,Q;
 241
 242         s = fabsl(x) - 1;
 243         P = pa[0] + s * (pa[1] + s * (pa[2] +
 244              s * (pa[3] + s * (pa[4] + s * (pa[5] + s * (pa[6] + s * pa[7]))))));
 245         Q = qa[0] + s * (qa[1] + s * (qa[2] +
 246              s * (qa[3] + s * (qa[4] + s * (qa[5] + s * (qa[6] + s))))));
 247         return 1 - erx - P / Q;
 248 }
 249
 250 static long double erfc2(uint32_t ix, long double x)
 251 {
 252         long double s,z,R,S;
 253         uint32_t i0,i1;
 254
 255         if (ix < 0x3fffa000)  /* 0.84375 <= |x| < 1.25 */
 256                 return erfc1(x);
 257
 258         x = fabsl(x);
 259         s = 1 / (x * x);
 260         if (ix < 0x4000b6db) {  /* 1.25 <= |x| < 2.857 ~ 1/.35 */
 261                 R = ra[0] + s * (ra[1] + s * (ra[2] + s * (ra[3] + s * (ra[4] +
 262                      s * (ra[5] + s * (ra[6] + s * (ra[7] + s * ra[8])))))));
 263                 S = sa[0] + s * (sa[1] + s * (sa[2] + s * (sa[3] + s * (sa[4] +
 264                      s * (sa[5] + s * (sa[6] + s * (sa[7] + s * (sa[8] + s))))))));
 265         } else {  /* 2.857 <= |x| */
 266                 R = rb[0] + s * (rb[1] + s * (rb[2] + s * (rb[3] + s * (rb[4] +
 267                      s * (rb[5] + s * (rb[6] + s * rb[7]))))));
 268                 S = sb[0] + s * (sb[1] + s * (sb[2] + s * (sb[3] + s * (sb[4] +
 269                      s * (sb[5] + s * (sb[6] + s))))));
 270         }
 271         if (ix < 0x4000b6db) {  /* 1.25 <= |x| < 2.85711669921875 ~ 1/.35 */
 272                 R = ra[0] + s * (ra[1] + s * (ra[2] + s * (ra[3] + s * (ra[4] +
 273                      s * (ra[5] + s * (ra[6] + s * (ra[7] + s * ra[8])))))));
 274                 S = sa[0] + s * (sa[1] + s * (sa[2] + s * (sa[3] + s * (sa[4] +
 275                      s * (sa[5] + s * (sa[6] + s * (sa[7] + s * (sa[8] + s))))))));
 276         } else if (ix < 0x4001d555) {  /* 6.6666259765625 > |x| >= 1/.35 ~ 2.857143 */
 277                 R = rb[0] + s * (rb[1] + s * (rb[2] + s * (rb[3] + s * (rb[4] +
 278                      s * (rb[5] + s * (rb[6] + s * rb[7]))))));
 279                 S = sb[0] + s * (sb[1] + s * (sb[2] + s * (sb[3] + s * (sb[4] +
 280                      s * (sb[5] + s * (sb[6] + s))))));
 281         } else { /* 107 > |x| >= 6.666 */
 282                 R = rc[0] + s * (rc[1] + s * (rc[2] + s * (rc[3] +
 283                      s * (rc[4] + s * rc[5]))));
 284                 S = sc[0] + s * (sc[1] + s * (sc[2] + s * (sc[3] +
 285                      s * (sc[4] + s))));
 286         }
 287         z = x;
 288         GET_LDOUBLE_WORDS(ix, i0, i1, z);
 289         i1 = 0;
 290         i0 &= 0xffffff00;
 291         SET_LDOUBLE_WORDS(z, ix, i0, i1);
 292         return expl(-z*z - 0.5625) * expl((z - x) * (z + x) + R / S) / x;
 293 }
 294
 295 long double erfl(long double x)
 296 {
 297         long double r, s, z, y;
 298         uint32_t i0, i1, ix;
 299         int sign;
 300
 301         GET_LDOUBLE_WORDS(ix, i0, i1, x);
 302         sign = ix >> 15;
 303         ix &= 0x7fff;
 304         if (ix == 0x7fff) {
 305                 /* erf(nan)=nan, erf(+-inf)=+-1 */
 306                 return 1 - 2*sign + 1/x;
 307         }
 308         ix = (ix << 16) | (i0 >> 16);
 309         if (ix < 0x3ffed800) {  /* |x| < 0.84375 */
 310                 if (ix < 0x3fde8000) {  /* |x| < 2**-33 */
 311                         return 0.125 * (8 * x + efx8 * x);  /* avoid underflow */
 312                 }
 313                 z = x * x;
 314                 r = pp[0] + z * (pp[1] +
 315                      z * (pp[2] + z * (pp[3] + z * (pp[4] + z * pp[5]))));
 316                 s = qq[0] + z * (qq[1] +
 317                      z * (qq[2] + z * (qq[3] + z * (qq[4] + z * (qq[5] + z)))));
 318                 y = r / s;
 319                 return x + x * y;
 320         }
 321         if (ix < 0x4001d555)  /* |x| < 6.6666259765625 */
 322                 y = 1 - erfc2(ix,x);
 323         else
 324                 y = 1 - 0x1p-16382L;
 325         return sign ? -y : y;
 326 }
 327
 328 long double erfcl(long double x)
 329 {
 330         long double r, s, z, y;
 331         uint32_t i0, i1, ix;
 332         int sign;
 333
 334         GET_LDOUBLE_WORDS(ix, i0, i1, x);
 335         sign = ix>>15;
 336         ix &= 0x7fff;
 337         if (ix == 0x7fff)
 338                 /* erfc(nan) = nan, erfc(+-inf) = 0,2 */
 339                 return 2*sign + 1/x;
 340
 341         ix = (ix << 16) | (i0 >> 16);
 342         if (ix < 0x3ffed800) {  /* |x| < 0.84375 */
 343                 if (ix < 0x3fbe0000)  /* |x| < 2**-65 */
 344                         return 1.0 - x;
 345                 z = x * x;
 346                 r = pp[0] + z * (pp[1] +
 347                      z * (pp[2] + z * (pp[3] + z * (pp[4] + z * pp[5]))));
 348                 s = qq[0] + z * (qq[1] +
 349                      z * (qq[2] + z * (qq[3] + z * (qq[4] + z * (qq[5] + z)))));
 350                 y = r / s;
 351                 if (ix < 0x3ffd8000) /* x < 1/4 */
 352                         return 1.0 - (x + x * y);
 353                 return 0.5 - (x - 0.5 + x * y);
 354         }
 355         if (ix < 0x4005d600)  /* |x| < 107 */
 356                 return sign ? 2 - erfc2(ix,x) : erfc2(ix,x);
 357         return sign ? 2 - 0x1p-16382L : 0x1p-16382L*0x1p-16382L;
 358 }
 359 #endif