nsz Git - libm/blob - src/math/powl.c

   1 /* origin: OpenBSD /usr/src/lib/libm/src/ld80/e_powl.c */
   2 /*
   3  * Copyright (c) 2008 Stephen L. Moshier <steve@moshier.net>
   4  *
   5  * Permission to use, copy, modify, and distribute this software for any
   6  * purpose with or without fee is hereby granted, provided that the above
   7  * copyright notice and this permission notice appear in all copies.
   8  *
   9  * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS" AND THE AUTHOR DISCLAIMS ALL WARRANTIES
  10  * WITH REGARD TO THIS SOFTWARE INCLUDING ALL IMPLIED WARRANTIES OF
  11  * MERCHANTABILITY AND FITNESS. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR
  12  * ANY SPECIAL, DIRECT, INDIRECT, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES OR ANY DAMAGES
  13  * WHATSOEVER RESULTING FROM LOSS OF USE, DATA OR PROFITS, WHETHER IN AN
  14  * ACTION OF CONTRACT, NEGLIGENCE OR OTHER TORTIOUS ACTION, ARISING OUT OF
  15  * OR IN CONNECTION WITH THE USE OR PERFORMANCE OF THIS SOFTWARE.
  16  */
  17 /*                                                      powl.c
  18  *
  19  *      Power function, long double precision
  20  *
  21  *
  22  * SYNOPSIS:
  23  *
  24  * long double x, y, z, powl();
  25  *
  26  * z = powl( x, y );
  27  *
  28  *
  29  * DESCRIPTION:
  30  *
  31  * Computes x raised to the yth power.  Analytically,
  32  *
  33  *      x**y  =  exp( y log(x) ).
  34  *
  35  * Following Cody and Waite, this program uses a lookup table
  36  * of 2**-i/32 and pseudo extended precision arithmetic to
  37  * obtain several extra bits of accuracy in both the logarithm
  38  * and the exponential.
  39  *
  40  *
  41  * ACCURACY:
  42  *
  43  * The relative error of pow(x,y) can be estimated
  44  * by   y dl ln(2),   where dl is the absolute error of
  45  * the internally computed base 2 logarithm.  At the ends
  46  * of the approximation interval the logarithm equal 1/32
  47  * and its relative error is about 1 lsb = 1.1e-19.  Hence
  48  * the predicted relative error in the result is 2.3e-21 y .
  49  *
  50  *                      Relative error:
  51  * arithmetic   domain     # trials      peak         rms
  52  *
  53  *    IEEE     +-1000       40000      2.8e-18      3.7e-19
  54  * .001 < x < 1000, with log(x) uniformly distributed.
  55  * -1000 < y < 1000, y uniformly distributed.
  56  *
  57  *    IEEE     0,8700       60000      6.5e-18      1.0e-18
  58  * 0.99 < x < 1.01, 0 < y < 8700, uniformly distributed.
  59  *
  60  *
  61  * ERROR MESSAGES:
  62  *
  63  *   message         condition      value returned
  64  * pow overflow     x**y > MAXNUM      INFINITY
  65  * pow underflow   x**y < 1/MAXNUM       0.0
  66  * pow domain      x<0 and y noninteger  0.0
  67  *
  68  */
  69
  70 #include "libm.h"
  71
  72 #if LDBL_MANT_DIG == 53 && LDBL_MAX_EXP == 1024
  73 long double powl(long double x, long double y)
  74 {
  75         return pow(x, y);
  76 }
  77 #elif LDBL_MANT_DIG == 64 && LDBL_MAX_EXP == 16384
  78
  79 /* Table size */
  80 #define NXT 32
  81 /* log2(Table size) */
  82 #define LNXT 5
  83
  84 /* log(1+x) =  x - .5x^2 + x^3 *  P(z)/Q(z)
  85  * on the domain  2^(-1/32) - 1  <=  x  <=  2^(1/32) - 1
  86  */
  87 static long double P[] = {
  88  8.3319510773868690346226E-4L,
  89  4.9000050881978028599627E-1L,
  90  1.7500123722550302671919E0L,
  91  1.4000100839971580279335E0L,
  92 };
  93 static long double Q[] = {
  94 /* 1.0000000000000000000000E0L,*/
  95  5.2500282295834889175431E0L,
  96  8.4000598057587009834666E0L,
  97  4.2000302519914740834728E0L,
  98 };
  99 /* A[i] = 2^(-i/32), rounded to IEEE long double precision.
 100  * If i is even, A[i] + B[i/2] gives additional accuracy.
 101  */
 102 static long double A[33] = {
 103  1.0000000000000000000000E0L,
 104  9.7857206208770013448287E-1L,
 105  9.5760328069857364691013E-1L,
 106  9.3708381705514995065011E-1L,
 107  9.1700404320467123175367E-1L,
 108  8.9735453750155359320742E-1L,
 109  8.7812608018664974155474E-1L,
 110  8.5930964906123895780165E-1L,
 111  8.4089641525371454301892E-1L,
 112  8.2287773907698242225554E-1L,
 113  8.0524516597462715409607E-1L,
 114  7.8799042255394324325455E-1L,
 115  7.7110541270397041179298E-1L,
 116  7.5458221379671136985669E-1L,
 117  7.3841307296974965571198E-1L,
 118  7.2259040348852331001267E-1L,
 119  7.0710678118654752438189E-1L,
 120  6.9195494098191597746178E-1L,
 121  6.7712777346844636413344E-1L,
 122  6.6261832157987064729696E-1L,
 123  6.4841977732550483296079E-1L,
 124  6.3452547859586661129850E-1L,
 125  6.2092890603674202431705E-1L,
 126  6.0762367999023443907803E-1L,
 127  5.9460355750136053334378E-1L,
 128  5.8186242938878875689693E-1L,
 129  5.6939431737834582684856E-1L,
 130  5.5719337129794626814472E-1L,
 131  5.4525386633262882960438E-1L,
 132  5.3357020033841180906486E-1L,
 133  5.2213689121370692017331E-1L,
 134  5.1094857432705833910408E-1L,
 135  5.0000000000000000000000E-1L,
 136 };
 137 static long double B[17] = {
 138  0.0000000000000000000000E0L,
 139  2.6176170809902549338711E-20L,
 140 -1.0126791927256478897086E-20L,
 141  1.3438228172316276937655E-21L,
 142  1.2207982955417546912101E-20L,
 143 -6.3084814358060867200133E-21L,
 144  1.3164426894366316434230E-20L,
 145 -1.8527916071632873716786E-20L,
 146  1.8950325588932570796551E-20L,
 147  1.5564775779538780478155E-20L,
 148  6.0859793637556860974380E-21L,
 149 -2.0208749253662532228949E-20L,
 150  1.4966292219224761844552E-20L,
 151  3.3540909728056476875639E-21L,
 152 -8.6987564101742849540743E-22L,
 153 -1.2327176863327626135542E-20L,
 154  0.0000000000000000000000E0L,
 155 };
 156
 157 /* 2^x = 1 + x P(x),
 158  * on the interval -1/32 <= x <= 0
 159  */
 160 static long double R[] = {
 161  1.5089970579127659901157E-5L,
 162  1.5402715328927013076125E-4L,
 163  1.3333556028915671091390E-3L,
 164  9.6181291046036762031786E-3L,
 165  5.5504108664798463044015E-2L,
 166  2.4022650695910062854352E-1L,
 167  6.9314718055994530931447E-1L,
 168 };
 169
 170 #define douba(k) A[k]
 171 #define doubb(k) B[k]
 172 #define MEXP (NXT*16384.0L)
 173 /* The following if denormal numbers are supported, else -MEXP: */
 174 #define MNEXP (-NXT*(16384.0L+64.0L))
 175 /* log2(e) - 1 */
 176 #define LOG2EA 0.44269504088896340735992L
 177
 178 #define F W
 179 #define Fa Wa
 180 #define Fb Wb
 181 #define G W
 182 #define Ga Wa
 183 #define Gb u
 184 #define H W
 185 #define Ha Wb
 186 #define Hb Wb
 187
 188 static const long double MAXLOGL = 1.1356523406294143949492E4L;
 189 static const long double MINLOGL = -1.13994985314888605586758E4L;
 190 static const long double LOGE2L = 6.9314718055994530941723E-1L;
 191 static volatile long double z;
 192 static long double w, W, Wa, Wb, ya, yb, u;
 193 static const long double huge = 0x1p10000L;
 194 /* XXX Prevent gcc from erroneously constant folding this. */
 195 static volatile long double twom10000 = 0x1p-10000L;
 196
 197 static long double reducl(long double);
 198 static long double powil(long double, int);
 199
 200 long double powl(long double x, long double y)
 201 {
 202         /* double F, Fa, Fb, G, Ga, Gb, H, Ha, Hb */
 203         int i, nflg, iyflg, yoddint;
 204         long e;
 205
 206         if (y == 0.0L)
 207                 return 1.0L;
 208         if (isnan(x))
 209                 return x;
 210         if (isnan(y))
 211                 return y;
 212         if (y == 1.0L)
 213                 return x;
 214
 215         // FIXME: this is wrong, see pow special cases in c99 F.9.4.4
 216         if (!isfinite(y) && (x == -1.0L || x == 1.0L) )
 217                 return y - y;   /* +-1**inf is NaN */
 218         if (x == 1.0L)
 219                 return 1.0L;
 220         if (y >= LDBL_MAX) {
 221                 if (x > 1.0L)
 222                         return INFINITY;
 223                 if (x > 0.0L && x < 1.0L)
 224                         return 0.0L;
 225                 if (x < -1.0L)
 226                         return INFINITY;
 227                 if (x > -1.0L && x < 0.0L)
 228                         return 0.0L;
 229         }
 230         if (y <= -LDBL_MAX) {
 231                 if (x > 1.0L)
 232                         return 0.0L;
 233                 if (x > 0.0L && x < 1.0L)
 234                         return INFINITY;
 235                 if (x < -1.0L)
 236                         return 0.0L;
 237                 if (x > -1.0L && x < 0.0L)
 238                         return INFINITY;
 239         }
 240         if (x >= LDBL_MAX) {
 241                 if (y > 0.0L)
 242                         return INFINITY;
 243                 return 0.0L;
 244         }
 245
 246         w = floorl(y);
 247         /* Set iyflg to 1 if y is an integer. */
 248         iyflg = 0;
 249         if (w == y)
 250                 iyflg = 1;
 251
 252         /* Test for odd integer y. */
 253         yoddint = 0;
 254         if (iyflg) {
 255                 ya = fabsl(y);
 256                 ya = floorl(0.5L * ya);
 257                 yb = 0.5L * fabsl(w);
 258                 if( ya != yb )
 259                         yoddint = 1;
 260         }
 261
 262         if (x <= -LDBL_MAX) {
 263                 if (y > 0.0L) {
 264                         if (yoddint)
 265                                 return -INFINITY;
 266                         return INFINITY;
 267                 }
 268                 if (y < 0.0L) {
 269                         if (yoddint)
 270                                 return -0.0L;
 271                         return 0.0;
 272                 }
 273         }
 274
 275
 276         nflg = 0;       /* flag = 1 if x<0 raised to integer power */
 277         if (x <= 0.0L) {
 278                 if (x == 0.0L) {
 279                         if (y < 0.0) {
 280                                 if (signbit(x) && yoddint)
 281                                         return -INFINITY;
 282                                 return INFINITY;
 283                         }
 284                         if (y > 0.0) {
 285                                 if (signbit(x) && yoddint)
 286                                         return -0.0L;
 287                                 return 0.0;
 288                         }
 289                         if (y == 0.0L)
 290                                 return 1.0L;  /*   0**0   */
 291                         return 0.0L;  /*   0**y   */
 292                 }
 293                 if (iyflg == 0)
 294                         return (x - x) / (x - x); /* (x<0)**(non-int) is NaN */
 295                 nflg = 1;
 296         }
 297
 298         /* Integer power of an integer.  */
 299         if (iyflg) {
 300                 i = w;
 301                 w = floorl(x);
 302                 if (w == x && fabsl(y) < 32768.0) {
 303                         w = powil(x, (int)y);
 304                         return w;
 305                 }
 306         }
 307
 308         if (nflg)
 309                 x = fabsl(x);
 310
 311         /* separate significand from exponent */
 312         x = frexpl(x, &i);
 313         e = i;
 314
 315         /* find significand in antilog table A[] */
 316         i = 1;
 317         if (x <= douba(17))
 318                 i = 17;
 319         if (x <= douba(i+8))
 320                 i += 8;
 321         if (x <= douba(i+4))
 322                 i += 4;
 323         if (x <= douba(i+2))
 324                 i += 2;
 325         if (x >= douba(1))
 326                 i = -1;
 327         i += 1;
 328
 329         /* Find (x - A[i])/A[i]
 330          * in order to compute log(x/A[i]):
 331          *
 332          * log(x) = log( a x/a ) = log(a) + log(x/a)
 333          *
 334          * log(x/a) = log(1+v),  v = x/a - 1 = (x-a)/a
 335          */
 336         x -= douba(i);
 337         x -= doubb(i/2);
 338         x /= douba(i);
 339
 340         /* rational approximation for log(1+v):
 341          *
 342          * log(1+v)  =  v  -  v**2/2  +  v**3 P(v) / Q(v)
 343          */
 344         z = x*x;
 345         w = x * (z * __polevll(x, P, 3) / __p1evll(x, Q, 3));
 346         w = w - ldexpl(z, -1);  /*  w - 0.5 * z  */
 347
 348         /* Convert to base 2 logarithm:
 349          * multiply by log2(e) = 1 + LOG2EA
 350          */
 351         z = LOG2EA * w;
 352         z += w;
 353         z += LOG2EA * x;
 354         z += x;
 355
 356         /* Compute exponent term of the base 2 logarithm. */
 357         w = -i;
 358         w = ldexpl(w, -LNXT); /* divide by NXT */
 359         w += e;
 360         /* Now base 2 log of x is w + z. */
 361
 362         /* Multiply base 2 log by y, in extended precision. */
 363
 364         /* separate y into large part ya
 365          * and small part yb less than 1/NXT
 366          */
 367         ya = reducl(y);
 368         yb = y - ya;
 369
 370         /* (w+z)(ya+yb)
 371          * = w*ya + w*yb + z*y
 372          */
 373         F = z * y  +  w * yb;
 374         Fa = reducl(F);
 375         Fb = F - Fa;
 376
 377         G = Fa + w * ya;
 378         Ga = reducl(G);
 379         Gb = G - Ga;
 380
 381         H = Fb + Gb;
 382         Ha = reducl(H);
 383         w = ldexpl( Ga+Ha, LNXT );
 384
 385         /* Test the power of 2 for overflow */
 386         if (w > MEXP)
 387                 return huge * huge;  /* overflow */
 388         if (w < MNEXP)
 389                 return twom10000 * twom10000;  /* underflow */
 390
 391         e = w;
 392         Hb = H - Ha;
 393
 394         if (Hb > 0.0L) {
 395                 e += 1;
 396                 Hb -= 1.0L/NXT;  /*0.0625L;*/
 397         }
 398
 399         /* Now the product y * log2(x)  =  Hb + e/NXT.
 400          *
 401          * Compute base 2 exponential of Hb,
 402          * where -0.0625 <= Hb <= 0.
 403          */
 404         z = Hb * __polevll(Hb, R, 6);  /*  z = 2**Hb - 1  */
 405
 406         /* Express e/NXT as an integer plus a negative number of (1/NXT)ths.
 407          * Find lookup table entry for the fractional power of 2.
 408          */
 409         if (e < 0)
 410                 i = 0;
 411         else
 412                 i = 1;
 413         i = e/NXT + i;
 414         e = NXT*i - e;
 415         w = douba(e);
 416         z = w * z;  /*  2**-e * ( 1 + (2**Hb-1) )  */
 417         z = z + w;
 418         z = ldexpl(z, i);  /* multiply by integer power of 2 */
 419
 420         if (nflg) {
 421                 /* For negative x,
 422                  * find out if the integer exponent
 423                  * is odd or even.
 424                  */
 425                 w = ldexpl(y, -1);
 426                 w = floorl(w);
 427                 w = ldexpl(w, 1);
 428                 if (w != y)
 429                         z = -z;  /* odd exponent */
 430         }
 431
 432         return z;
 433 }
 434
 435
 436 /* Find a multiple of 1/NXT that is within 1/NXT of x. */
 437 static long double reducl(long double x)
 438 {
 439         long double t;
 440
 441         t = ldexpl(x, LNXT);
 442         t = floorl(t);
 443         t = ldexpl(t, -LNXT);
 444         return t;
 445 }
 446
 447 /*                                                      powil.c
 448  *
 449  *      Real raised to integer power, long double precision
 450  *
 451  *
 452  * SYNOPSIS:
 453  *
 454  * long double x, y, powil();
 455  * int n;
 456  *
 457  * y = powil( x, n );
 458  *
 459  *
 460  * DESCRIPTION:
 461  *
 462  * Returns argument x raised to the nth power.
 463  * The routine efficiently decomposes n as a sum of powers of
 464  * two. The desired power is a product of two-to-the-kth
 465  * powers of x.  Thus to compute the 32767 power of x requires
 466  * 28 multiplications instead of 32767 multiplications.
 467  *
 468  *
 469  * ACCURACY:
 470  *
 471  *                      Relative error:
 472  * arithmetic   x domain   n domain  # trials      peak         rms
 473  *    IEEE     .001,1000  -1022,1023  50000       4.3e-17     7.8e-18
 474  *    IEEE        1,2     -1022,1023  20000       3.9e-17     7.6e-18
 475  *    IEEE     .99,1.01     0,8700    10000       3.6e-16     7.2e-17
 476  *
 477  * Returns MAXNUM on overflow, zero on underflow.
 478  */
 479
 480 static long double powil(long double x, int nn)
 481 {
 482         long double ww, y;
 483         long double s;
 484         int n, e, sign, asign, lx;
 485
 486         if (x == 0.0L) {
 487                 if (nn == 0)
 488                         return 1.0L;
 489                 else if (nn < 0)
 490                         return LDBL_MAX;
 491                 return 0.0L;
 492         }
 493
 494         if (nn == 0)
 495                 return 1.0L;
 496
 497         if (x < 0.0L) {
 498                 asign = -1;
 499                 x = -x;
 500         } else
 501                 asign = 0;
 502
 503         if (nn < 0) {
 504                 sign = -1;
 505                 n = -nn;
 506         } else {
 507                 sign = 1;
 508                 n = nn;
 509         }
 510
 511         /* Overflow detection */
 512
 513         /* Calculate approximate logarithm of answer */
 514         s = x;
 515         s = frexpl( s, &lx);
 516         e = (lx - 1)*n;
 517         if ((e == 0) || (e > 64) || (e < -64)) {
 518                 s = (s - 7.0710678118654752e-1L) / (s +  7.0710678118654752e-1L);
 519                 s = (2.9142135623730950L * s - 0.5L + lx) * nn * LOGE2L;
 520         } else {
 521                 s = LOGE2L * e;
 522         }
 523
 524         if (s > MAXLOGL)
 525                 return huge * huge;  /* overflow */
 526
 527         if (s < MINLOGL)
 528                 return twom10000 * twom10000;  /* underflow */
 529         /* Handle tiny denormal answer, but with less accuracy
 530          * since roundoff error in 1.0/x will be amplified.
 531          * The precise demarcation should be the gradual underflow threshold.
 532          */
 533         if (s < -MAXLOGL+2.0L) {
 534                 x = 1.0L/x;
 535                 sign = -sign;
 536         }
 537
 538         /* First bit of the power */
 539         if (n & 1)
 540                 y = x;
 541         else {
 542                 y = 1.0L;
 543                 asign = 0;
 544         }
 545
 546         ww = x;
 547         n >>= 1;
 548         while (n) {
 549                 ww = ww * ww;   /* arg to the 2-to-the-kth power */
 550                 if (n & 1)     /* if that bit is set, then include in product */
 551                         y *= ww;
 552                 n >>= 1;
 553         }
 554
 555         if (asign)
 556                 y = -y;  /* odd power of negative number */
 557         if (sign < 0)
 558                 y = 1.0L/y;
 559         return y;
 560 }
 561
 562 #endif