1 /* origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/s_log1p.c */
2 /*
3  * ====================================================
4  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
5  *
6  * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
7  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
8  * software is freely granted, provided that this notice
9  * is preserved.
10  * ====================================================
11  */
12 /* double log1p(double x)
13  *
14  * Method :
15  *   1. Argument Reduction: find k and f such that
16  *                      1+x = 2^k * (1+f),
17  *         where  sqrt(2)/2 < 1+f < sqrt(2) .
18  *
19  *      Note. If k=0, then f=x is exact. However, if k!=0, then f
20  *      may not be representable exactly. In that case, a correction
21  *      term is need. Let u=1+x rounded. Let c = (1+x)-u, then
22  *      log(1+x) - log(u) ~ c/u. Thus, we proceed to compute log(u),
23  *      and add back the correction term c/u.
24  *      (Note: when x > 2**53, one can simply return log(x))
25  *
26  *   2. Approximation of log1p(f).
27  *      Let s = f/(2+f) ; based on log(1+f) = log(1+s) - log(1-s)
28  *               = 2s + 2/3 s**3 + 2/5 s**5 + .....,
29  *               = 2s + s*R
30  *      We use a special Reme algorithm on [0,0.1716] to generate
31  *      a polynomial of degree 14 to approximate R The maximum error
32  *      of this polynomial approximation is bounded by 2**-58.45. In
33  *      other words,
34  *                      2      4      6      8      10      12      14
35  *          R(z) ~ Lp1*s +Lp2*s +Lp3*s +Lp4*s +Lp5*s  +Lp6*s  +Lp7*s
36  *      (the values of Lp1 to Lp7 are listed in the program)
37  *      and
38  *          |      2          14          |     -58.45
39  *          | Lp1*s +...+Lp7*s    -  R(z) | <= 2
40  *          |                             |
41  *      Note that 2s = f - s*f = f - hfsq + s*hfsq, where hfsq = f*f/2.
42  *      In order to guarantee error in log below 1ulp, we compute log
43  *      by
44  *              log1p(f) = f - (hfsq - s*(hfsq+R)).
45  *
46  *      3. Finally, log1p(x) = k*ln2 + log1p(f).
47  *                           = k*ln2_hi+(f-(hfsq-(s*(hfsq+R)+k*ln2_lo)))
48  *         Here ln2 is split into two floating point number:
49  *                      ln2_hi + ln2_lo,
50  *         where n*ln2_hi is always exact for |n| < 2000.
51  *
52  * Special cases:
53  *      log1p(x) is NaN with signal if x < -1 (including -INF) ;
54  *      log1p(+INF) is +INF; log1p(-1) is -INF with signal;
55  *      log1p(NaN) is that NaN with no signal.
56  *
57  * Accuracy:
58  *      according to an error analysis, the error is always less than
59  *      1 ulp (unit in the last place).
60  *
61  * Constants:
62  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
63  * constants. The decimal values may be used, provided that the
64  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
65  * to produce the hexadecimal values shown.
66  *
67  * Note: Assuming log() return accurate answer, the following
68  *       algorithm can be used to compute log1p(x) to within a few ULP:
69  *
70  *              u = 1+x;
71  *              if(u==1.0) return x ; else
72  *                         return log(u)*(x/(u-1.0));
73  *
74  *       See HP-15C Advanced Functions Handbook, p.193.
75  */
77 #include "libm.h"
79 static const double
80 ln2_hi = 6.93147180369123816490e-01,  /* 3fe62e42 fee00000 */
81 ln2_lo = 1.90821492927058770002e-10,  /* 3dea39ef 35793c76 */
82 two54  = 1.80143985094819840000e+16,  /* 43500000 00000000 */
83 Lp1 = 6.666666666666735130e-01,  /* 3FE55555 55555593 */
84 Lp2 = 3.999999999940941908e-01,  /* 3FD99999 9997FA04 */
85 Lp3 = 2.857142874366239149e-01,  /* 3FD24924 94229359 */
86 Lp4 = 2.222219843214978396e-01,  /* 3FCC71C5 1D8E78AF */
87 Lp5 = 1.818357216161805012e-01,  /* 3FC74664 96CB03DE */
88 Lp6 = 1.531383769920937332e-01,  /* 3FC39A09 D078C69F */
89 Lp7 = 1.479819860511658591e-01;  /* 3FC2F112 DF3E5244 */
91 static const double zero = 0.0;
93 double log1p(double x)
94 {
95         double hfsq,f,c,s,z,R,u;
96         int32_t k,hx,hu,ax;
98         GET_HIGH_WORD(hx, x);
99         ax = hx & 0x7fffffff;
101         k = 1;
102         if (hx < 0x3FDA827A) {  /* 1+x < sqrt(2)+ */
103                 if (ax >= 0x3ff00000) {  /* x <= -1.0 */
104                         if (x == -1.0)
105                                 return -two54/zero; /* log1p(-1)=+inf */
106                         return (x-x)/(x-x);         /* log1p(x<-1)=NaN */
107                 }
108                 if (ax < 0x3e200000) {   /* |x| < 2**-29 */
109                         /* raise inexact */
110                         if (two54 + x > zero && ax < 0x3c900000)  /* |x| < 2**-54 */
111                                 return x;
112                         return x - x*x*0.5;
113                 }
114                 if (hx > 0 || hx <= (int32_t)0xbfd2bec4) {  /* sqrt(2)/2- <= 1+x < sqrt(2)+ */
115                         k = 0;
116                         f = x;
117                         hu = 1;
118                 }
119         }
120         if (hx >= 0x7ff00000)
121                 return x+x;
122         if (k != 0) {
123                 if (hx < 0x43400000) {
124                         STRICT_ASSIGN(double, u, 1.0 + x);
125                         GET_HIGH_WORD(hu, u);
126                         k = (hu>>20) - 1023;
127                         c = k > 0 ? 1.0-(u-x) : x-(u-1.0); /* correction term */
128                         c /= u;
129                 } else {
130                         u = x;
131                         GET_HIGH_WORD(hu,u);
132                         k = (hu>>20) - 1023;
133                         c = 0;
134                 }
135                 hu &= 0x000fffff;
136                 /*
137                  * The approximation to sqrt(2) used in thresholds is not
138                  * critical.  However, the ones used above must give less
139                  * strict bounds than the one here so that the k==0 case is
140                  * never reached from here, since here we have committed to
141                  * using the correction term but don't use it if k==0.
142                  */
143                 if (hu < 0x6a09e) {  /* u ~< sqrt(2) */
144                         SET_HIGH_WORD(u, hu|0x3ff00000); /* normalize u */
145                 } else {
146                         k += 1;
147                         SET_HIGH_WORD(u, hu|0x3fe00000); /* normalize u/2 */
148                         hu = (0x00100000-hu)>>2;
149                 }
150                 f = u - 1.0;
151         }
152         hfsq = 0.5*f*f;
153         if (hu == 0) {   /* |f| < 2**-20 */
154                 if (f == zero) {
155                         if(k == 0)
156                                 return zero;
157                         c += k*ln2_lo;
158                         return k*ln2_hi + c;
159                 }
160                 R = hfsq*(1.0 - 0.66666666666666666*f);
161                 if (k == 0)
162                         return f - R;
163                 return k*ln2_hi - ((R-(k*ln2_lo+c))-f);
164         }
165         s = f/(2.0+f);
166         z = s*s;
167         R = z*(Lp1+z*(Lp2+z*(Lp3+z*(Lp4+z*(Lp5+z*(Lp6+z*Lp7))))));
168         if (k == 0)
169                 return f - (hfsq-s*(hfsq+R));
170         return k*ln2_hi - ((hfsq-(s*(hfsq+R)+(k*ln2_lo+c)))-f);
171 }