nsz Git - libm/blob - src/math/log.c

   1 /* origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/e_log.c */
   2 /*
   3  * ====================================================
   4  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
   5  *
   6  * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
   7  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
   8  * software is freely granted, provided that this notice
   9  * is preserved.
  10  * ====================================================
  11  */
  12 /* log(x)
  13  * Return the logrithm of x
  14  *
  15  * Method :
  16  *   1. Argument Reduction: find k and f such that
  17  *                      x = 2^k * (1+f),
  18  *         where  sqrt(2)/2 < 1+f < sqrt(2) .
  19  *
  20  *   2. Approximation of log(1+f).
  21  *      Let s = f/(2+f) ; based on log(1+f) = log(1+s) - log(1-s)
  22  *               = 2s + 2/3 s**3 + 2/5 s**5 + .....,
  23  *               = 2s + s*R
  24  *      We use a special Remez algorithm on [0,0.1716] to generate
  25  *      a polynomial of degree 14 to approximate R The maximum error
  26  *      of this polynomial approximation is bounded by 2**-58.45. In
  27  *      other words,
  28  *                      2      4      6      8      10      12      14
  29  *          R(z) ~ Lg1*s +Lg2*s +Lg3*s +Lg4*s +Lg5*s  +Lg6*s  +Lg7*s
  30  *      (the values of Lg1 to Lg7 are listed in the program)
  31  *      and
  32  *          |      2          14          |     -58.45
  33  *          | Lg1*s +...+Lg7*s    -  R(z) | <= 2
  34  *          |                             |
  35  *      Note that 2s = f - s*f = f - hfsq + s*hfsq, where hfsq = f*f/2.
  36  *      In order to guarantee error in log below 1ulp, we compute log
  37  *      by
  38  *              log(1+f) = f - s*(f - R)        (if f is not too large)
  39  *              log(1+f) = f - (hfsq - s*(hfsq+R)).     (better accuracy)
  40  *
  41  *      3. Finally,  log(x) = k*ln2 + log(1+f).
  42  *                          = k*ln2_hi+(f-(hfsq-(s*(hfsq+R)+k*ln2_lo)))
  43  *         Here ln2 is split into two floating point number:
  44  *                      ln2_hi + ln2_lo,
  45  *         where n*ln2_hi is always exact for |n| < 2000.
  46  *
  47  * Special cases:
  48  *      log(x) is NaN with signal if x < 0 (including -INF) ;
  49  *      log(+INF) is +INF; log(0) is -INF with signal;
  50  *      log(NaN) is that NaN with no signal.
  51  *
  52  * Accuracy:
  53  *      according to an error analysis, the error is always less than
  54  *      1 ulp (unit in the last place).
  55  *
  56  * Constants:
  57  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
  58  * constants. The decimal values may be used, provided that the
  59  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
  60  * to produce the hexadecimal values shown.
  61  */
  62
  63 #include "libm.h"
  64
  65 static const double
  66 ln2_hi = 6.93147180369123816490e-01,  /* 3fe62e42 fee00000 */
  67 ln2_lo = 1.90821492927058770002e-10,  /* 3dea39ef 35793c76 */
  68 two54  = 1.80143985094819840000e+16,  /* 43500000 00000000 */
  69 Lg1 = 6.666666666666735130e-01,  /* 3FE55555 55555593 */
  70 Lg2 = 3.999999999940941908e-01,  /* 3FD99999 9997FA04 */
  71 Lg3 = 2.857142874366239149e-01,  /* 3FD24924 94229359 */
  72 Lg4 = 2.222219843214978396e-01,  /* 3FCC71C5 1D8E78AF */
  73 Lg5 = 1.818357216161805012e-01,  /* 3FC74664 96CB03DE */
  74 Lg6 = 1.531383769920937332e-01,  /* 3FC39A09 D078C69F */
  75 Lg7 = 1.479819860511658591e-01;  /* 3FC2F112 DF3E5244 */
  76
  77 static const double zero = 0.0;
  78
  79 double log(double x)
  80 {
  81         double hfsq,f,s,z,R,w,t1,t2,dk;
  82         int32_t k,hx,i,j;
  83         uint32_t lx;
  84
  85         EXTRACT_WORDS(hx, lx, x);
  86
  87         k = 0;
  88         if (hx < 0x00100000) {  /* x < 2**-1022  */
  89                 if (((hx&0x7fffffff)|lx) == 0)
  90                         return -two54/zero;  /* log(+-0)=-inf */
  91                 if (hx < 0)
  92                         return (x-x)/zero;   /* log(-#) = NaN */
  93                 /* subnormal number, scale up x */
  94                 k -= 54;
  95                 x *= two54;
  96                 GET_HIGH_WORD(hx,x);
  97         }
  98         if (hx >= 0x7ff00000)
  99                 return x+x;
 100         k += (hx>>20) - 1023;
 101         hx &= 0x000fffff;
 102         i = (hx+0x95f64)&0x100000;
 103         SET_HIGH_WORD(x, hx|(i^0x3ff00000));  /* normalize x or x/2 */
 104         k += i>>20;
 105         f = x - 1.0;
 106         if ((0x000fffff&(2+hx)) < 3) {  /* -2**-20 <= f < 2**-20 */
 107                 if (f == zero) {
 108                         if (k == 0) {
 109                                 return zero;
 110                         }
 111                         dk = (double)k;
 112                         return dk*ln2_hi + dk*ln2_lo;
 113                 }
 114                 R = f*f*(0.5-0.33333333333333333*f);
 115                 if (k == 0)
 116                         return f - R;
 117                 dk = (double)k;
 118                 return dk*ln2_hi - ((R-dk*ln2_lo)-f);
 119         }
 120         s = f/(2.0+f);
 121         dk = (double)k;
 122         z = s*s;
 123         i = hx - 0x6147a;
 124         w = z*z;
 125         j = 0x6b851 - hx;
 126         t1 = w*(Lg2+w*(Lg4+w*Lg6));
 127         t2 = z*(Lg1+w*(Lg3+w*(Lg5+w*Lg7)));
 128         i |= j;
 129         R = t2 + t1;
 130         if (i > 0) {
 131                 hfsq = 0.5*f*f;
 132                 if (k == 0)
 133                         return f - (hfsq-s*(hfsq+R));
 134                 return dk*ln2_hi - ((hfsq-(s*(hfsq+R)+dk*ln2_lo))-f);
 135         } else {
 136                 if (k == 0)
 137                         return f - s*(f-R);
 138                 return dk*ln2_hi - ((s*(f-R)-dk*ln2_lo)-f);
 139         }
 140 }