1 /* origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/e_log.c */
2 /*
3  * ====================================================
4  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
5  *
6  * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
7  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
8  * software is freely granted, provided that this notice
9  * is preserved.
10  * ====================================================
11  */
12 /* log(x)
13  * Return the logrithm of x
14  *
15  * Method :
16  *   1. Argument Reduction: find k and f such that
17  *                      x = 2^k * (1+f),
18  *         where  sqrt(2)/2 < 1+f < sqrt(2) .
19  *
20  *   2. Approximation of log(1+f).
21  *      Let s = f/(2+f) ; based on log(1+f) = log(1+s) - log(1-s)
22  *               = 2s + 2/3 s**3 + 2/5 s**5 + .....,
23  *               = 2s + s*R
24  *      We use a special Remez algorithm on [0,0.1716] to generate
25  *      a polynomial of degree 14 to approximate R The maximum error
26  *      of this polynomial approximation is bounded by 2**-58.45. In
27  *      other words,
28  *                      2      4      6      8      10      12      14
29  *          R(z) ~ Lg1*s +Lg2*s +Lg3*s +Lg4*s +Lg5*s  +Lg6*s  +Lg7*s
30  *      (the values of Lg1 to Lg7 are listed in the program)
31  *      and
32  *          |      2          14          |     -58.45
33  *          | Lg1*s +...+Lg7*s    -  R(z) | <= 2
34  *          |                             |
35  *      Note that 2s = f - s*f = f - hfsq + s*hfsq, where hfsq = f*f/2.
36  *      In order to guarantee error in log below 1ulp, we compute log
37  *      by
38  *              log(1+f) = f - s*(f - R)        (if f is not too large)
39  *              log(1+f) = f - (hfsq - s*(hfsq+R)).     (better accuracy)
40  *
41  *      3. Finally,  log(x) = k*ln2 + log(1+f).
42  *                          = k*ln2_hi+(f-(hfsq-(s*(hfsq+R)+k*ln2_lo)))
43  *         Here ln2 is split into two floating point number:
44  *                      ln2_hi + ln2_lo,
45  *         where n*ln2_hi is always exact for |n| < 2000.
46  *
47  * Special cases:
48  *      log(x) is NaN with signal if x < 0 (including -INF) ;
49  *      log(+INF) is +INF; log(0) is -INF with signal;
50  *      log(NaN) is that NaN with no signal.
51  *
52  * Accuracy:
53  *      according to an error analysis, the error is always less than
54  *      1 ulp (unit in the last place).
55  *
56  * Constants:
57  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
58  * constants. The decimal values may be used, provided that the
59  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
60  * to produce the hexadecimal values shown.
61  */
63 #include "libm.h"
65 static const double
66 ln2_hi = 6.93147180369123816490e-01,  /* 3fe62e42 fee00000 */
67 ln2_lo = 1.90821492927058770002e-10,  /* 3dea39ef 35793c76 */
68 two54  = 1.80143985094819840000e+16,  /* 43500000 00000000 */
69 Lg1 = 6.666666666666735130e-01,  /* 3FE55555 55555593 */
70 Lg2 = 3.999999999940941908e-01,  /* 3FD99999 9997FA04 */
71 Lg3 = 2.857142874366239149e-01,  /* 3FD24924 94229359 */
72 Lg4 = 2.222219843214978396e-01,  /* 3FCC71C5 1D8E78AF */
73 Lg5 = 1.818357216161805012e-01,  /* 3FC74664 96CB03DE */
74 Lg6 = 1.531383769920937332e-01,  /* 3FC39A09 D078C69F */
75 Lg7 = 1.479819860511658591e-01;  /* 3FC2F112 DF3E5244 */
77 static const double zero = 0.0;
79 double log(double x)
80 {
81         double hfsq,f,s,z,R,w,t1,t2,dk;
82         int32_t k,hx,i,j;
83         uint32_t lx;
85         EXTRACT_WORDS(hx, lx, x);
87         k = 0;
88         if (hx < 0x00100000) {  /* x < 2**-1022  */
89                 if (((hx&0x7fffffff)|lx) == 0)
90                         return -two54/zero;  /* log(+-0)=-inf */
91                 if (hx < 0)
92                         return (x-x)/zero;   /* log(-#) = NaN */
93                 /* subnormal number, scale up x */
94                 k -= 54;
95                 x *= two54;
96                 GET_HIGH_WORD(hx,x);
97         }
98         if (hx >= 0x7ff00000)
99                 return x+x;
100         k += (hx>>20) - 1023;
101         hx &= 0x000fffff;
102         i = (hx+0x95f64)&0x100000;
103         SET_HIGH_WORD(x, hx|(i^0x3ff00000));  /* normalize x or x/2 */
104         k += i>>20;
105         f = x - 1.0;
106         if ((0x000fffff&(2+hx)) < 3) {  /* -2**-20 <= f < 2**-20 */
107                 if (f == zero) {
108                         if (k == 0) {
109                                 return zero;
110                         }
111                         dk = (double)k;
112                         return dk*ln2_hi + dk*ln2_lo;
113                 }
114                 R = f*f*(0.5-0.33333333333333333*f);
115                 if (k == 0)
116                         return f - R;
117                 dk = (double)k;
118                 return dk*ln2_hi - ((R-dk*ln2_lo)-f);
119         }
120         s = f/(2.0+f);
121         dk = (double)k;
122         z = s*s;
123         i = hx - 0x6147a;
124         w = z*z;
125         j = 0x6b851 - hx;
126         t1 = w*(Lg2+w*(Lg4+w*Lg6));
127         t2 = z*(Lg1+w*(Lg3+w*(Lg5+w*Lg7)));
128         i |= j;
129         R = t2 + t1;
130         if (i > 0) {
131                 hfsq = 0.5*f*f;
132                 if (k == 0)
133                         return f - (hfsq-s*(hfsq+R));
134                 return dk*ln2_hi - ((hfsq-(s*(hfsq+R)+dk*ln2_lo))-f);
135         } else {
136                 if (k == 0)
137                         return f - s*(f-R);
138                 return dk*ln2_hi - ((s*(f-R)-dk*ln2_lo)-f);
139         }
140 }