nsz Git - libm/blob - src/math/lgammal.c

   1 /* origin: OpenBSD /usr/src/lib/libm/src/ld80/e_lgammal.c */
   2 /*
   3  * ====================================================
   4  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
   5  *
   6  * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
   7  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
   8  * software is freely granted, provided that this notice
   9  * is preserved.
  10  * ====================================================
  11  */
  12 /*
  13  * Copyright (c) 2008 Stephen L. Moshier <steve@moshier.net>
  14  *
  15  * Permission to use, copy, modify, and distribute this software for any
  16  * purpose with or without fee is hereby granted, provided that the above
  17  * copyright notice and this permission notice appear in all copies.
  18  *
  19  * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS" AND THE AUTHOR DISCLAIMS ALL WARRANTIES
  20  * WITH REGARD TO THIS SOFTWARE INCLUDING ALL IMPLIED WARRANTIES OF
  21  * MERCHANTABILITY AND FITNESS. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR
  22  * ANY SPECIAL, DIRECT, INDIRECT, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES OR ANY DAMAGES
  23  * WHATSOEVER RESULTING FROM LOSS OF USE, DATA OR PROFITS, WHETHER IN AN
  24  * ACTION OF CONTRACT, NEGLIGENCE OR OTHER TORTIOUS ACTION, ARISING OUT OF
  25  * OR IN CONNECTION WITH THE USE OR PERFORMANCE OF THIS SOFTWARE.
  26  */
  27 /* lgammal(x)
  28  * Reentrant version of the logarithm of the Gamma function
  29  * with user provide pointer for the sign of Gamma(x).
  30  *
  31  * Method:
  32  *   1. Argument Reduction for 0 < x <= 8
  33  *      Since gamma(1+s)=s*gamma(s), for x in [0,8], we may
  34  *      reduce x to a number in [1.5,2.5] by
  35  *              lgamma(1+s) = log(s) + lgamma(s)
  36  *      for example,
  37  *              lgamma(7.3) = log(6.3) + lgamma(6.3)
  38  *                          = log(6.3*5.3) + lgamma(5.3)
  39  *                          = log(6.3*5.3*4.3*3.3*2.3) + lgamma(2.3)
  40  *   2. Polynomial approximation of lgamma around its
  41  *      minimun ymin=1.461632144968362245 to maintain monotonicity.
  42  *      On [ymin-0.23, ymin+0.27] (i.e., [1.23164,1.73163]), use
  43  *              Let z = x-ymin;
  44  *              lgamma(x) = -1.214862905358496078218 + z^2*poly(z)
  45  *   2. Rational approximation in the primary interval [2,3]
  46  *      We use the following approximation:
  47  *              s = x-2.0;
  48  *              lgamma(x) = 0.5*s + s*P(s)/Q(s)
  49  *      Our algorithms are based on the following observation
  50  *
  51  *                             zeta(2)-1    2    zeta(3)-1    3
  52  * lgamma(2+s) = s*(1-Euler) + --------- * s  -  --------- * s  + ...
  53  *                                 2                 3
  54  *
  55  *      where Euler = 0.5771... is the Euler constant, which is very
  56  *      close to 0.5.
  57  *
  58  *   3. For x>=8, we have
  59  *      lgamma(x)~(x-0.5)log(x)-x+0.5*log(2pi)+1/(12x)-1/(360x**3)+....
  60  *      (better formula:
  61  *         lgamma(x)~(x-0.5)*(log(x)-1)-.5*(log(2pi)-1) + ...)
  62  *      Let z = 1/x, then we approximation
  63  *              f(z) = lgamma(x) - (x-0.5)(log(x)-1)
  64  *      by
  65  *                                  3       5             11
  66  *              w = w0 + w1*z + w2*z  + w3*z  + ... + w6*z
  67  *
  68  *   4. For negative x, since (G is gamma function)
  69  *              -x*G(-x)*G(x) = pi/sin(pi*x),
  70  *      we have
  71  *              G(x) = pi/(sin(pi*x)*(-x)*G(-x))
  72  *      since G(-x) is positive, sign(G(x)) = sign(sin(pi*x)) for x<0
  73  *      Hence, for x<0, signgam = sign(sin(pi*x)) and
  74  *              lgamma(x) = log(|Gamma(x)|)
  75  *                        = log(pi/(|x*sin(pi*x)|)) - lgamma(-x);
  76  *      Note: one should avoid compute pi*(-x) directly in the
  77  *            computation of sin(pi*(-x)).
  78  *
  79  *   5. Special Cases
  80  *              lgamma(2+s) ~ s*(1-Euler) for tiny s
  81  *              lgamma(1)=lgamma(2)=0
  82  *              lgamma(x) ~ -log(x) for tiny x
  83  *              lgamma(0) = lgamma(inf) = inf
  84  *              lgamma(-integer) = +-inf
  85  *
  86  */
  87
  88 #include "libm.h"
  89
  90 long double lgammal(long double x)
  91 {
  92         return lgammal_r(x, &signgam);
  93 }
  94
  95 #if LD64
  96 long double lgammal_r(long double x, int *sg)
  97 {
  98         return lgamma_r(x, sg);
  99 }
 100 #elif LD80
 101 static const long double
 102 half = 0.5L,
 103 one = 1.0L,
 104 pi = 3.14159265358979323846264L,
 105 two63 = 9.223372036854775808e18L,
 106
 107 /* lgam(1+x) = 0.5 x + x a(x)/b(x)
 108     -0.268402099609375 <= x <= 0
 109     peak relative error 6.6e-22 */
 110 a0 = -6.343246574721079391729402781192128239938E2L,
 111 a1 =  1.856560238672465796768677717168371401378E3L,
 112 a2 =  2.404733102163746263689288466865843408429E3L,
 113 a3 =  8.804188795790383497379532868917517596322E2L,
 114 a4 =  1.135361354097447729740103745999661157426E2L,
 115 a5 =  3.766956539107615557608581581190400021285E0L,
 116
 117 b0 =  8.214973713960928795704317259806842490498E3L,
 118 b1 =  1.026343508841367384879065363925870888012E4L,
 119 b2 =  4.553337477045763320522762343132210919277E3L,
 120 b3 =  8.506975785032585797446253359230031874803E2L,
 121 b4 =  6.042447899703295436820744186992189445813E1L,
 122 /* b5 =  1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
 123
 124
 125 tc =  1.4616321449683623412626595423257213284682E0L,
 126 tf = -1.2148629053584961146050602565082954242826E-1, /* double precision */
 127 /* tt = (tail of tf), i.e. tf + tt has extended precision. */
 128 tt = 3.3649914684731379602768989080467587736363E-18L,
 129 /* lgam ( 1.4616321449683623412626595423257213284682E0 ) =
 130 -1.2148629053584960809551455717769158215135617312999903886372437313313530E-1 */
 131
 132 /* lgam (x + tc) = tf + tt + x g(x)/h(x)
 133     -0.230003726999612341262659542325721328468 <= x
 134        <= 0.2699962730003876587373404576742786715318
 135      peak relative error 2.1e-21 */
 136 g0 = 3.645529916721223331888305293534095553827E-18L,
 137 g1 = 5.126654642791082497002594216163574795690E3L,
 138 g2 = 8.828603575854624811911631336122070070327E3L,
 139 g3 = 5.464186426932117031234820886525701595203E3L,
 140 g4 = 1.455427403530884193180776558102868592293E3L,
 141 g5 = 1.541735456969245924860307497029155838446E2L,
 142 g6 = 4.335498275274822298341872707453445815118E0L,
 143
 144 h0 = 1.059584930106085509696730443974495979641E4L,
 145 h1 = 2.147921653490043010629481226937850618860E4L,
 146 h2 = 1.643014770044524804175197151958100656728E4L,
 147 h3 = 5.869021995186925517228323497501767586078E3L,
 148 h4 = 9.764244777714344488787381271643502742293E2L,
 149 h5 = 6.442485441570592541741092969581997002349E1L,
 150 /* h6 = 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
 151
 152
 153 /* lgam (x+1) = -0.5 x + x u(x)/v(x)
 154     -0.100006103515625 <= x <= 0.231639862060546875
 155     peak relative error 1.3e-21 */
 156 u0 = -8.886217500092090678492242071879342025627E1L,
 157 u1 =  6.840109978129177639438792958320783599310E2L,
 158 u2 =  2.042626104514127267855588786511809932433E3L,
 159 u3 =  1.911723903442667422201651063009856064275E3L,
 160 u4 =  7.447065275665887457628865263491667767695E2L,
 161 u5 =  1.132256494121790736268471016493103952637E2L,
 162 u6 =  4.484398885516614191003094714505960972894E0L,
 163
 164 v0 =  1.150830924194461522996462401210374632929E3L,
 165 v1 =  3.399692260848747447377972081399737098610E3L,
 166 v2 =  3.786631705644460255229513563657226008015E3L,
 167 v3 =  1.966450123004478374557778781564114347876E3L,
 168 v4 =  4.741359068914069299837355438370682773122E2L,
 169 v5 =  4.508989649747184050907206782117647852364E1L,
 170 /* v6 =  1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
 171
 172
 173 /* lgam (x+2) = .5 x + x s(x)/r(x)
 174      0 <= x <= 1
 175      peak relative error 7.2e-22 */
 176 s0 =  1.454726263410661942989109455292824853344E6L,
 177 s1 = -3.901428390086348447890408306153378922752E6L,
 178 s2 = -6.573568698209374121847873064292963089438E6L,
 179 s3 = -3.319055881485044417245964508099095984643E6L,
 180 s4 = -7.094891568758439227560184618114707107977E5L,
 181 s5 = -6.263426646464505837422314539808112478303E4L,
 182 s6 = -1.684926520999477529949915657519454051529E3L,
 183
 184 r0 = -1.883978160734303518163008696712983134698E7L,
 185 r1 = -2.815206082812062064902202753264922306830E7L,
 186 r2 = -1.600245495251915899081846093343626358398E7L,
 187 r3 = -4.310526301881305003489257052083370058799E6L,
 188 r4 = -5.563807682263923279438235987186184968542E5L,
 189 r5 = -3.027734654434169996032905158145259713083E4L,
 190 r6 = -4.501995652861105629217250715790764371267E2L,
 191 /* r6 =  1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
 192
 193
 194 /* lgam(x) = ( x - 0.5 ) * log(x) - x + LS2PI + 1/x w(1/x^2)
 195     x >= 8
 196     Peak relative error 1.51e-21
 197 w0 = LS2PI - 0.5 */
 198 w0 =  4.189385332046727417803e-1L,
 199 w1 =  8.333333333333331447505E-2L,
 200 w2 = -2.777777777750349603440E-3L,
 201 w3 =  7.936507795855070755671E-4L,
 202 w4 = -5.952345851765688514613E-4L,
 203 w5 =  8.412723297322498080632E-4L,
 204 w6 = -1.880801938119376907179E-3L,
 205 w7 =  4.885026142432270781165E-3L;
 206
 207 static const long double zero = 0.0L;
 208
 209 static long double sin_pi(long double x)
 210 {
 211         long double y, z;
 212         int n, ix;
 213         uint32_t se, i0, i1;
 214
 215         GET_LDOUBLE_WORDS(se, i0, i1, x);
 216         ix = se & 0x7fff;
 217         ix = (ix << 16) | (i0 >> 16);
 218         if (ix < 0x3ffd8000)  /* 0.25 */
 219                 return sinl(pi * x);
 220         y = -x;  /* x is assume negative */
 221
 222         /*
 223          * argument reduction, make sure inexact flag not raised if input
 224          * is an integer
 225          */
 226         z = floorl(y);
 227         if (z != y) {  /* inexact anyway */
 228                 y *= 0.5;
 229                 y = 2.0*(y - floorl(y));/* y = |x| mod 2.0 */
 230                 n = (int) (y*4.0);
 231         } else {
 232                 if (ix >= 0x403f8000) {  /* 2^64 */
 233                         y = zero;  /* y must be even */
 234                         n = 0;
 235                 } else {
 236                         if (ix < 0x403e8000)  /* 2^63 */
 237                                 z = y + two63;  /* exact */
 238                         GET_LDOUBLE_WORDS(se, i0, i1, z);
 239                         n = i1 & 1;
 240                         y = n;
 241                         n <<= 2;
 242                 }
 243         }
 244
 245         switch (n) {
 246         case 0:
 247                 y = sinl(pi * y);
 248                 break;
 249         case 1:
 250         case 2:
 251                 y = cosl(pi * (half - y));
 252                 break;
 253         case 3:
 254         case 4:
 255                 y = sinl(pi * (one - y));
 256                 break;
 257         case 5:
 258         case 6:
 259                 y = -cosl(pi * (y - 1.5));
 260                 break;
 261         default:
 262                 y = sinl(pi * (y - 2.0));
 263                 break;
 264         }
 265         return -y;
 266 }
 267
 268 long double lgammal_r(long double x, int *sg) {
 269         long double t, y, z, nadj, p, p1, p2, q, r, w;
 270         int i, ix;
 271         uint32_t se, i0, i1;
 272
 273         *sg = 1;
 274         GET_LDOUBLE_WORDS(se, i0, i1, x);
 275         ix = se & 0x7fff;
 276
 277         if ((ix | i0 | i1) == 0) {
 278                 if (se & 0x8000)
 279                         *sg = -1;
 280                 return one / fabsl(x);
 281         }
 282
 283         ix = (ix << 16) | (i0 >> 16);
 284
 285         /* purge off +-inf, NaN, +-0, and negative arguments */
 286         if (ix >= 0x7fff0000)
 287                 return x * x;
 288
 289         if (ix < 0x3fc08000) {  /* |x|<2**-63, return -log(|x|) */
 290                 if (se & 0x8000) {
 291                         *sg = -1;
 292                         return -logl(-x);
 293                 }
 294                 return -logl(x);
 295         }
 296         if (se & 0x8000) {
 297                 t = sin_pi (x);
 298                 if (t == zero)
 299                         return one / fabsl(t); /* -integer */
 300                 nadj = logl(pi / fabsl(t * x));
 301                 if (t < zero)
 302                         *sg = -1;
 303                 x = -x;
 304         }
 305
 306         /* purge off 1 and 2 */
 307         if ((((ix - 0x3fff8000) | i0 | i1) == 0) ||
 308             (((ix - 0x40008000) | i0 | i1) == 0))
 309                 r = 0;
 310         else if (ix < 0x40008000) {  /* x < 2.0 */
 311                 if (ix <= 0x3ffee666) {  /* 8.99993896484375e-1 */
 312                         /* lgamma(x) = lgamma(x+1) - log(x) */
 313                         r = -logl (x);
 314                         if (ix >= 0x3ffebb4a) {  /* 7.31597900390625e-1 */
 315                                 y = x - one;
 316                                 i = 0;
 317                         } else if (ix >= 0x3ffced33) {  /* 2.31639862060546875e-1 */
 318                                 y = x - (tc - one);
 319                                 i = 1;
 320                         } else { /* x < 0.23 */
 321                                 y = x;
 322                                 i = 2;
 323                         }
 324                 } else {
 325                         r = zero;
 326                         if (ix >= 0x3fffdda6) {  /* 1.73162841796875 */
 327                                 /* [1.7316,2] */
 328                                 y = x - 2.0;
 329                                 i = 0;
 330                         } else if (ix >= 0x3fff9da6) {  /* 1.23162841796875 */
 331                                 /* [1.23,1.73] */
 332                                 y = x - tc;
 333                                 i = 1;
 334                         } else {
 335                                 /* [0.9, 1.23] */
 336                                 y = x - one;
 337                                 i = 2;
 338                         }
 339                 }
 340                 switch (i) {
 341                 case 0:
 342                         p1 = a0 + y * (a1 + y * (a2 + y * (a3 + y * (a4 + y * a5))));
 343                         p2 = b0 + y * (b1 + y * (b2 + y * (b3 + y * (b4 + y))));
 344                         r += half * y + y * p1/p2;
 345                         break;
 346                 case 1:
 347                         p1 = g0 + y * (g1 + y * (g2 + y * (g3 + y * (g4 + y * (g5 + y * g6)))));
 348                         p2 = h0 + y * (h1 + y * (h2 + y * (h3 + y * (h4 + y * (h5 + y)))));
 349                         p = tt + y * p1/p2;
 350                         r += (tf + p);
 351                         break;
 352                 case 2:
 353                         p1 = y * (u0 + y * (u1 + y * (u2 + y * (u3 + y * (u4 + y * (u5 + y * u6))))));
 354                         p2 = v0 + y * (v1 + y * (v2 + y * (v3 + y * (v4 + y * (v5 + y)))));
 355                         r += (-half * y + p1 / p2);
 356                 }
 357         } else if (ix < 0x40028000) {  /* 8.0 */
 358                 /* x < 8.0 */
 359                 i = (int)x;
 360                 t = zero;
 361                 y = x - (double)i;
 362                 p = y * (s0 + y * (s1 + y * (s2 + y * (s3 + y * (s4 + y * (s5 + y * s6))))));
 363                 q = r0 + y * (r1 + y * (r2 + y * (r3 + y * (r4 + y * (r5 + y * (r6 + y))))));
 364                 r = half * y + p / q;
 365                 z = one;/* lgamma(1+s) = log(s) + lgamma(s) */
 366                 switch (i) {
 367                 case 7:
 368                         z *= (y + 6.0); /* FALLTHRU */
 369                 case 6:
 370                         z *= (y + 5.0); /* FALLTHRU */
 371                 case 5:
 372                         z *= (y + 4.0); /* FALLTHRU */
 373                 case 4:
 374                         z *= (y + 3.0); /* FALLTHRU */
 375                 case 3:
 376                         z *= (y + 2.0); /* FALLTHRU */
 377                         r += logl (z);
 378                         break;
 379                 }
 380         } else if (ix < 0x40418000) {  /* 2^66 */
 381                 /* 8.0 <= x < 2**66 */
 382                 t = logl (x);
 383                 z = one / x;
 384                 y = z * z;
 385                 w = w0 + z * (w1 + y * (w2 + y * (w3 + y * (w4 + y * (w5 + y * (w6 + y * w7))))));
 386                 r = (x - half) * (t - one) + w;
 387         } else /* 2**66 <= x <= inf */
 388                 r = x * (logl (x) - one);
 389         if (se & 0x8000)
 390                 r = nadj - r;
 391         return r;
 392 }
 393 #endif