1 /* origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/e_exp.c */
2 /*
3  * ====================================================
4  * Copyright (C) 2004 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
5  *
6  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
7  * software is freely granted, provided that this notice
8  * is preserved.
9  * ====================================================
10  */
11 /* exp(x)
12  * Returns the exponential of x.
13  *
14  * Method
15  *   1. Argument reduction:
16  *      Reduce x to an r so that |r| <= 0.5*ln2 ~ 0.34658.
17  *      Given x, find r and integer k such that
18  *
19  *               x = k*ln2 + r,  |r| <= 0.5*ln2.
20  *
21  *      Here r will be represented as r = hi-lo for better
22  *      accuracy.
23  *
24  *   2. Approximation of exp(r) by a special rational function on
25  *      the interval [0,0.34658]:
26  *      Write
27  *          R(r**2) = r*(exp(r)+1)/(exp(r)-1) = 2 + r*r/6 - r**4/360 + ...
28  *      We use a special Remes algorithm on [0,0.34658] to generate
29  *      a polynomial of degree 5 to approximate R. The maximum error
30  *      of this polynomial approximation is bounded by 2**-59. In
31  *      other words,
32  *          R(z) ~ 2.0 + P1*z + P2*z**2 + P3*z**3 + P4*z**4 + P5*z**5
33  *      (where z=r*r, and the values of P1 to P5 are listed below)
34  *      and
35  *          |                  5          |     -59
36  *          | 2.0+P1*z+...+P5*z   -  R(z) | <= 2
37  *          |                             |
38  *      The computation of exp(r) thus becomes
39  *                             2*r
40  *              exp(r) = 1 + -------
41  *                            R - r
42  *                                 r*R1(r)
43  *                     = 1 + r + ----------- (for better accuracy)
44  *                                2 - R1(r)
45  *      where
46  *                               2       4             10
47  *              R1(r) = r - (P1*r  + P2*r  + ... + P5*r   ).
48  *
49  *   3. Scale back to obtain exp(x):
50  *      From step 1, we have
51  *         exp(x) = 2^k * exp(r)
52  *
53  * Special cases:
54  *      exp(INF) is INF, exp(NaN) is NaN;
55  *      exp(-INF) is 0, and
56  *      for finite argument, only exp(0)=1 is exact.
57  *
58  * Accuracy:
59  *      according to an error analysis, the error is always less than
60  *      1 ulp (unit in the last place).
61  *
62  * Misc. info.
63  *      For IEEE double
64  *          if x >  7.09782712893383973096e+02 then exp(x) overflow
65  *          if x < -7.45133219101941108420e+02 then exp(x) underflow
66  *
67  * Constants:
68  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
69  * constants. The decimal values may be used, provided that the
70  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
71  * to produce the hexadecimal values shown.
72  */
74 #include "libm.h"
76 static const double
77 one     = 1.0,
78 halF = {0.5,-0.5,},
79 huge    = 1.0e+300,
80 o_threshold =  7.09782712893383973096e+02, /* 0x40862E42, 0xFEFA39EF */
81 u_threshold = -7.45133219101941108420e+02, /* 0xc0874910, 0xD52D3051 */
82 ln2HI   = { 6.93147180369123816490e-01, /* 0x3fe62e42, 0xfee00000 */
83               -6.93147180369123816490e-01},/* 0xbfe62e42, 0xfee00000 */
84 ln2LO   = { 1.90821492927058770002e-10, /* 0x3dea39ef, 0x35793c76 */
85               -1.90821492927058770002e-10},/* 0xbdea39ef, 0x35793c76 */
86 invln2 = 1.44269504088896338700e+00, /* 0x3ff71547, 0x652b82fe */
87 P1   =  1.66666666666666019037e-01, /* 0x3FC55555, 0x5555553E */
88 P2   = -2.77777777770155933842e-03, /* 0xBF66C16C, 0x16BEBD93 */
89 P3   =  6.61375632143793436117e-05, /* 0x3F11566A, 0xAF25DE2C */
90 P4   = -1.65339022054652515390e-06, /* 0xBEBBBD41, 0xC5D26BF1 */
91 P5   =  4.13813679705723846039e-08; /* 0x3E663769, 0x72BEA4D0 */
93 static volatile double
94 twom1000 = 9.33263618503218878990e-302; /* 2**-1000=0x01700000,0 */
96 double exp(double x)
97 {
98         double y,hi=0.0,lo=0.0,c,t,twopk;
99         int32_t k=0,xsb;
100         uint32_t hx;
102         GET_HIGH_WORD(hx, x);
103         xsb = (hx>>31)&1;  /* sign bit of x */
104         hx &= 0x7fffffff;  /* high word of |x| */
106         /* filter out non-finite argument */
107         if (hx >= 0x40862E42) {  /* if |x| >= 709.78... */
108                 if (hx >= 0x7ff00000) {
109                         uint32_t lx;
111                         GET_LOW_WORD(lx,x);
112                         if (((hx&0xfffff)|lx) != 0)  /* NaN */
113                                  return x+x;
114                         return xsb==0 ? x : 0.0;  /* exp(+-inf)={inf,0} */
115                 }
116                 if (x > o_threshold)
117                         return huge*huge; /* overflow */
118                 if (x < u_threshold)
119                         return twom1000*twom1000; /* underflow */
120         }
122         /* argument reduction */
123         if (hx > 0x3fd62e42) {  /* if  |x| > 0.5 ln2 */
124                 if (hx < 0x3FF0A2B2) {  /* and |x| < 1.5 ln2 */
125                         hi = x-ln2HI[xsb];
126                         lo = ln2LO[xsb];
127                         k = 1 - xsb - xsb;
128                 } else {
129                         k  = (int)(invln2*x+halF[xsb]);
130                         t  = k;
131                         hi = x - t*ln2HI;  /* t*ln2HI is exact here */
132                         lo = t*ln2LO;
133                 }
134                 STRICT_ASSIGN(double, x, hi - lo);
135         } else if(hx < 0x3e300000)  {  /* |x| < 2**-28 */
136                 /* raise inexact */
137                 if (huge+x > one)
138                         return one+x;
139         } else
140                 k = 0;
142         /* x is now in primary range */
143         t  = x*x;
144         if (k >= -1021)
145                 INSERT_WORDS(twopk, 0x3ff00000+(k<<20), 0);
146         else
147                 INSERT_WORDS(twopk, 0x3ff00000+((k+1000)<<20), 0);
148         c  = x - t*(P1+t*(P2+t*(P3+t*(P4+t*P5))));
149         if (k == 0)
150                 return one - ((x*c)/(c-2.0) - x);
151         y = one-((lo-(x*c)/(2.0-c))-hi);
152         if (k < -1021)
153                 return y*twopk*twom1000;
154         if (k == 1024)
155                 return y*2.0*0x1p1023;
156         return y*twopk;
157 }