1 /* origin: FreeBSD /usr/src/lib/msun/src/k_log.h */
2 /*
3  * ====================================================
4  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
5  *
6  * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
7  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
8  * software is freely granted, provided that this notice
9  * is preserved.
10  * ====================================================
11  */
12 /*
13  * __log1p(f):
14  * Return log(1+f) - f for 1+f in ~[sqrt(2)/2, sqrt(2)].
15  *
16  * The following describes the overall strategy for computing
17  * logarithms in base e.  The argument reduction and adding the final
18  * term of the polynomial are done by the caller for increased accuracy
19  * when different bases are used.
20  *
21  * Method :
22  *   1. Argument Reduction: find k and f such that
23  *                      x = 2^k * (1+f),
24  *         where  sqrt(2)/2 < 1+f < sqrt(2) .
25  *
26  *   2. Approximation of log(1+f).
27  *      Let s = f/(2+f) ; based on log(1+f) = log(1+s) - log(1-s)
28  *               = 2s + 2/3 s**3 + 2/5 s**5 + .....,
29  *               = 2s + s*R
30  *      We use a special Reme algorithm on [0,0.1716] to generate
31  *      a polynomial of degree 14 to approximate R The maximum error
32  *      of this polynomial approximation is bounded by 2**-58.45. In
33  *      other words,
34  *                      2      4      6      8      10      12      14
35  *          R(z) ~ Lg1*s +Lg2*s +Lg3*s +Lg4*s +Lg5*s  +Lg6*s  +Lg7*s
36  *      (the values of Lg1 to Lg7 are listed in the program)
37  *      and
38  *          |      2          14          |     -58.45
39  *          | Lg1*s +...+Lg7*s    -  R(z) | <= 2
40  *          |                             |
41  *      Note that 2s = f - s*f = f - hfsq + s*hfsq, where hfsq = f*f/2.
42  *      In order to guarantee error in log below 1ulp, we compute log
43  *      by
44  *              log(1+f) = f - s*(f - R)        (if f is not too large)
45  *              log(1+f) = f - (hfsq - s*(hfsq+R)).     (better accuracy)
46  *
47  *      3. Finally,  log(x) = k*ln2 + log(1+f).
48  *                          = k*ln2_hi+(f-(hfsq-(s*(hfsq+R)+k*ln2_lo)))
49  *         Here ln2 is split into two floating point number:
50  *                      ln2_hi + ln2_lo,
51  *         where n*ln2_hi is always exact for |n| < 2000.
52  *
53  * Special cases:
54  *      log(x) is NaN with signal if x < 0 (including -INF) ;
55  *      log(+INF) is +INF; log(0) is -INF with signal;
56  *      log(NaN) is that NaN with no signal.
57  *
58  * Accuracy:
59  *      according to an error analysis, the error is always less than
60  *      1 ulp (unit in the last place).
61  *
62  * Constants:
63  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
64  * constants. The decimal values may be used, provided that the
65  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
66  * to produce the hexadecimal values shown.
67  */
69 static const double
70 Lg1 = 6.666666666666735130e-01, /* 3FE55555 55555593 */
71 Lg2 = 3.999999999940941908e-01, /* 3FD99999 9997FA04 */
72 Lg3 = 2.857142874366239149e-01, /* 3FD24924 94229359 */
73 Lg4 = 2.222219843214978396e-01, /* 3FCC71C5 1D8E78AF */
74 Lg5 = 1.818357216161805012e-01, /* 3FC74664 96CB03DE */
75 Lg6 = 1.531383769920937332e-01, /* 3FC39A09 D078C69F */
76 Lg7 = 1.479819860511658591e-01; /* 3FC2F112 DF3E5244 */
78 /*
79  * We always inline __log1p(), since doing so produces a
80  * substantial performance improvement (~40% on amd64).
81  */
82 static inline double __log1p(double f)
83 {
84         double hfsq,s,z,R,w,t1,t2;
86         s = f/(2.0+f);
87         z = s*s;
88         w = z*z;
89         t1= w*(Lg2+w*(Lg4+w*Lg6));
90         t2= z*(Lg1+w*(Lg3+w*(Lg5+w*Lg7)));
91         R = t2+t1;
92         hfsq = 0.5*f*f;
93         return s*(hfsq+R);
94 }